高等数学教学渗透数学文化的实践与创新

董海茵，孙 萍

（1.新疆农业职业技术学院，新疆 昌吉 831100；2.乌鲁木齐职业大学 基础教育部，新疆 乌鲁木齐 830002）

随着高等职业教育的不断发展，人们对高等职业教育有了更多更深入的认识，而作为职业院校肩负的“培养高端技能型人才”培养目标，不仅仅指培养高技能型人才，同时也包含培养高素质人才。高等数学课程是高等职业院校理工类专业开设的一门专业基础课程，通过该课程的学习，能使学生掌握高等数学基本理论和运算方法，培养数学思维能力，也为学生后续专业课程的学习储备基础知识。但在课程实际教学中，教师往往从数学专业角度出发，注重数学知识的逻辑性与系统性，讲授中强调定理的证明、公式的推导和习题的演练，忽略了数学知识本身在产生和发展历程中所包含的文化内涵。在数学文化观念下，数学教育不单单是学会数学的基本知识点及其基本运算，而且要学会分析和研究问题的方式、方法，它对于提高学生的文化修养和综合素质起着重要作用［1］。因此，在高等数学教学中有效的将数学文化知识与教学内容融为一体，有利于培养和提高学生学习兴趣，同时有助于学生对数学概念、定理的理解与认识的深化，使学生在接受数学知识能力训练的同时，获得人文科学方面的修养，提高学生的人文素质［2］。

现有研究，主要讨论高等数学教学中融入数学文化的意义与必要性，或是研究数学文化融入教学的策略与教学模式，而针对高等数学实际教学内容融入数学文化的教学设计案例的研究非常有限。基于上述原因，笔者从数学文化视角出发，对高等数学课程教学展开探索与实践，收集整合资料，设计数学文化与数学知识有机融合的教学案例，使教学研究有的放矢，增强教学的实效性。

一、教学设计原则

1.在教学内容上，立足高职学生的学情，选取专业学习需要的数学知识和生产生活中涉及的数学问题，培养学生将数学知识专业化和专业知识数学化相互贯通的能力。

2.在教学形式上，区别于传统的以讲授数学理论知识为主要目的的数学课，融入数学文化知识，着眼于以讲授数学思想、方法、精神为主，以提高学生的数学素养和运用数学的思维模式、技巧和策略分析、解决在专业领域中或生活中遇到的实际问题为目的。

3.在教学手段上，合理运用信息技术，创设可视化的数学教学情境，借助图片、动态图像和视频，使数学历史人物以及抽象的数学概念、原理、公式等变得形象、具体、生动，让思维过程可视化。

二、教学设计案例

（一）极限的概念

高等数学课程首先从讲授极限的概念开始，数学讨论的问题也从有限进入无限，从静态进入动态。因此，可进行如下教学设计：

情境设计：三国时期的刘徽割圆术提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”，这些很朴素的事实均体现了极限的思想。同时，借助信息技术，展示圆分割的动态过程。数学文化的融入使学生了解了中国数学史和中国数学文化。

引入新课：引入“芝诺悖论”——“阿基里斯追龟”和“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的典故，领会、理解极限的思想，由此讲授自变量趋于一点时极限的概念。

数学文化：芝诺说，“阿基里斯追龟，永远也追不上。”这就是著名的“芝诺悖论”，“追龟说”虽然违背了生活常识，但当时的古希腊人却无法证明“追龟说”错在何处，这就成为希腊数学史上有名的难题，直到17世纪微积分学产生，这个问题才算基本解决［3］。

将问题转化为数学问题，距离转化为数列100，10，1，0.1，……，数列最终项会无限接近于0。这就蕴含了极限的思想。

课后反思：什么是悖论？有哪些悖论？

在概念理解中融入数学文化，通过有趣的故事激发学生的认知冲突，可激发学生学习兴趣和热情，进而加深学生对概念的理解和认识，奠定高等数学基本的思想观点，逐步引导学生从初等数学知识向高等数学知识过渡。而数学家发现问题、创新方法、创造思想并解决问题的介绍有助于加深学生对数学的理解。

（二）无穷小

无穷小是个抽象的概念，学生难于理解，如何形象具体的刻画概念是教学难点，教学中可进行如下教学设计：

课前查阅资料：第二次数学危机，了解无穷小、无穷大的概念。

新课讲授：检查学生课前预习情况，总结以求极限的变化过程来阐明无穷小，以此让学生了解数学知识发展的历程，再由例题使学生明确无穷小与极限的关系及无穷小性质在求极限时的应用。

数学文化：向学生介绍第二次数学危机产生的原因，“贝克莱悖论”的提出引发了第二次数学危机的产生［4］。

在学生自主学习课外知识的过程中，使学生了解科学家为数学研究和发展不断研究奋斗的精神，增强学生的数学认同感，感悟前人的数学思想。课内教师总结提升，调动课堂教学的活跃气氛，有利于学生掌握数学知识发展规律，引导学生进行科学思考，提高学生的数学素养。

（三）隐函数的导数

该内容为公式讲授，内容抽象枯燥，考虑从学生认知水平出发，用形象、生动、直观的方法，将难点进行转化、分解，借助特殊曲线方程和数学文化，再到实际应用，从另一个角度对问题进行剖析，使学生更容易接受和掌握知识，以达到理想的教学效果。教学设计如下：

复习导入：复习已学知识——复合函数求导；给出一类特殊函数，考虑如何计算导数。

情境设计：显函数与隐函数的区分及定义。通过几个方程，让学生从形式上理解显函数和隐函数的不同，进而给出定义。

构建新知：隐函数的求导方法。

方法应用：笛卡尔叶形线对应的曲线方程求导。笛卡儿叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出，笛卡儿叶形线的隐式方程为：

x3+y3-3axy=0

数学文化：介绍解析几何之父——笛卡尔的生平，勒内·笛卡尔是著名的法国哲学家、科学家和数学家［5］。

给学生介绍数学家勤奋钻研的精神、求实严谨的作风，数学家的生平和贡献，有助于学生感受数学文化，逐渐培养学生的探索精神、拼搏精神及严谨认真的学习态度，使他们在知识和文化的熏陶中不断提升数学素养。

（四）平面图形的面积计算——极坐标情形

该教学内容是定积分的应用，对学生来说是从理论到实践的思维转变过程，枯燥的理论，难于理解的公式，给学生造成一定的困扰。融入数学文化，可作如下教学设计：

情景设计：播放广告视频——百岁山矿泉水广告，在欣赏广告片唯美意境的同时，引导学生弄清楚广告的创意，即这则广告源于数学家笛卡尔和瑞典公主克莉丝汀的爱情故事。介绍其隐喻的数学历史故事，引出“极坐标发现”的历史。（数学历史故事可在网络中查找）

新课讲解：介绍极坐标系概念，结合PPT中的动态图像介绍极坐标系的建立；介绍极坐标方程定义，以数学历史故事中提到的心形线为例，说明极坐标方程的表示形式，并以动态图像演示心形线的形成过程（设疑：心形线围成的面积是多少？）。讲授极坐标系下的平面图形面积，结合PPT中的动态图像给出曲边扇形的定义，并给出极坐标系中的扇形面积计算公式:

实际案例：用图片形式给出生活和专业中涉及的案例，引导学生思考如何计算图片中的建筑物、岛屿等面积？

方法应用：将案例转化为数学问题，分析讲解如何计算心形线围成的面积。

该教学设计通过广告视频引出其隐喻的数学历史故事，使学生了解极坐标系和极坐标方程的产生和表示形式，结合教学内容，通过分析生活和专业涉及的实际问题，讲授极坐标系中的扇形面积的计算方法。在唯美的传说故事中，揭示数学发展历程，让学生领悟数学魅力，洞察数学真谛，在数学文化所营造的数学氛围里，培养学习兴趣。

（五）定积分应用——平面曲线的弧长

该教学内容是定积分的应用，可突破传统教学方式，避免抽象的公式推导，直接给出弧长计算公式，作如下教学设计：

公式给出：直观给出平面曲线弧长的计算公式。

情景设计：演示图片。如高架电缆、锁链、双曲拱桥——悬链线等。

数学文化：悬链线的发现。悬链线是一种曲线，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名。

问题的起源——达·芬奇《抱银貂的女人》画作中，女子脖颈上悬挂的黑色珍珠项链形成的曲线应该是怎样的？这就是著名的悬链线问题，达·芬奇去世时还没有找到答案。

发展——悬链线是不是抛物线？

解决问题——雅各布·伯努利、伽利略都曾试图解决这一问题。最终，雅各布·伯努利的弟弟约翰·伯努利得到正确答案［6］。

实际应用：摆线（旋轮线）在摆钟和建筑物中的应用。可进行图片演示，动态模拟旋轮线的形成，使学生形象理解曲线的性质和实践应用。

思维拓展：查阅阿基米德螺线的性质和实际应用。

通过图片、动画模拟、数学历史资料，使学生在学习弧长公式的同时，了解所求曲线的特殊性质和相关的实践应用，开拓学生数学视野，逐步认识数学的科学价值和应用价值，在学习中体验这些曲线蕴含的数学文化，形成崇尚数学的理性精神，激发学生学习兴趣；同时，领略科学家严谨认真和锲而不舍的科学精神。

随着时代的发展，结合现代化教学手段和丰富的教学资源，数学教学也不断地发生着变化。数学教育不仅传递知识，也起到培养学生数学素养和人文素养的作用。数学教师需要不断学习和更新观念，设计创新出适合学生实际情况的教学案例，将课堂的教学内容与相关数学文化有机结合起来，使数学文化有效渗透教学中，从而不断提高人才培养的质量。