基于学生数学素养发展的运算教学的实践

（兰州市七里河区 王官营中心校，甘肃 兰州 730050）

数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，因此它历来是小学数学教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目标之一。现实的运算教学中，通常以“熟能生巧”作为理论支撑，以“反复机械训练”作为提高学生运算能力的基本方式，运算教学更多地是追求“又对、又快、又准”。不可否认，这是一种提高测试效果的有效途径。但另一方面，大量的机械重复训练使师生的负担无限制的增加，导致学生感到数学枯燥无味，让其厌烦，严重地摧残着学生的学习热情，侵占了学生进行创造性学习的时间，泯灭了学生对数学的好奇心和创造力，抑制了学生进行思维提升和有意义学习的进展。

运算教学如何发挥其培养学生思维的教育价值？运算教学如何培养学生的探究能力而不泯灭学生的求知欲望？如何充分挖掘运算教学的教育价值而能仍然保持学生持续学习数学的热情？这些值得，也必须引起我们思考。

一、缘起

如今，信息技术让世界变得平坦，知识不再是少数精英掌握的机密，思维方式的培养，为世界各国所共同重视。作为基础教育工作者，尤其是作为培养思维的中小学数学教师来说，应该深思：我们的数学教育应该肩负怎样的使命！自恢复高考以来，全国各地共产生了二千多名“高考状元”，但无一科技创新人才，大都在各自的岗位平庸地默默无闻，并未给祖国的建设提供过多于一般人的贡献！究其缘由，他们只是考试的状元、知识的状元、技能的状元，而不是实践的状元、创新的状元。而且，中小学生课业负担过重是困扰基础教育阶段全面实施素质教育的重要问题，是关系能否培养具有创新精神和实践能力一代新人的重大问题，长期以来受到社会各界和人民群众的广泛关注。学生的课业负担从何而来？诚然课业负担过重占了很大因素，但是无意义、低价值、机械重复的课业也是加重学生身体负担和心理负荷的重要因素。

对比2001版《课程标准》和2011版《课程标准》的提出的核心概念，可以发现：运算能力是核心概念中唯一新增的内容（其他为原核心概念的分解或表达改变）。《标准》的这种改变，增加了什么？弱化了什么？我们该以怎样的价值标准进行取舍？是继续强化在规则记忆下的机械训练呢？还是加强算理的理解和算法的探究呢？

二、“运算能力”涵义界定

为了能遵循教育学和数学能力形成的规律，能准确把握《标准（2011）》的理念，按照《标准（2011）》的真正意图开展项目研究，我们需要站在历史的和国际的数学教育发展平台上解读“运算能力”应有涵义。

（一）从历史的视角解读“运算能力”的概念内涵

1923年《算术科课程纲要》对于运算的教学要求：（1）宜注意从学生生活里使学生发展需要工具的动机；（2）计算宜注重练习，以便养成正确而迅速的习惯；（3）问题以切合学生生活的为主体；成人的事务，若是学生不能想象的，虽实用也不适宜；（4）方法、原理宜用归纳的建造，不宜用演绎的推展。1929年《小学算术科课程标准》要求：一二学年计算的问题，要具体而有兴趣，让儿童直观，第三学年以上也应使问题儿童生活化。1940年《小学算术教学法》的教学注意事项和教学原则提到：（1）培养儿童计算的观念于日常生活中，实现做学教合一；（2）设置算学的环境，将校内走廊、运动场、学校校园，标明长阔的尺寸及其面积，各教室中标明长、阔、高及面积与体积等；（3）教学新方法，应从实在的需要出发，使数目的计算有相当的依据，切忌选用无意义的问题；（4）练习时宜多方变化，能利用儿童的成功的兴趣，使之自动地努力，切忌苛责儿童过失。即使有错误，应循循善诱地推求其错误的原因，设法消除它；（5）心算是算术的基础，笔算、珠算是帮助心算的工具，所以三者应充分地联络，切不可故意割裂，造成事倍功半的现象。1952年《数学课程标准》中对于运算的教学要求是“在算术教学中，培养儿童有计算的熟练技巧是非常重要的。这主要依靠各种练习来完成。例如演算式题，解应用题。演算式题和解应用题的练习除在课内进行外还要在课外进行，养成巩固的熟练技巧。必须要求儿童在笔算和口算方面都要做到完全正确和准确，书写要工整，并对演算结果负责。2001版《课程标准》中关于“数的运算”要求是“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述‘算理’”。2011版《课程标准》对“运算能力”的表述为运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

（二）从国际数学教育的视角解读“运算能力”的概念内涵

数学教育改革历来是国际教育改革中倍受关注的领域。对其他 国家和地区数学教学改革的进展进行简要梳理，可以更加清晰我们的思路，更有利于寻求有科学有效的行进之路。

1.美国数学课程改革的新动态

美国数学教师协会于2008年3月提交了一份名为《成功的基础》的报告，《报告》认为，熟练的掌握整数是学习分数的一个必要前提，分数又是测量和几何的前提。整数，分数，测量和几何的某些部分是代数的“三大基础”。《报告》认为，“学习分数（包括小数和百分数）时遇到困难是很普遍的现象，这也是之后数学（包括代数）学习的一个主要障碍。和学习整数一样，对分数，小数概念的理解能促进他们运算能力的提高，同时，不断的进行他们之间的运算，也有利于他们对概念的理解”。

2.德国数学教育改革的新进展

德国教育的主导思想是通过改革与研究使学生在数学与科学素养培养中达到能够运用数学、科学和技术知识来处理复杂世界多变的问题和要求；形成牢固的基础知识，能够应用在多变的各种情景中；意识到数学和科学知识在理解客观世界和参与社会决定中的意义；乐意向数学、科学和技术领域进一步发展，并为深入理解和继续学习做好准备。

3.韩国数学课程改革的情况

2006年8月，韩国对第七次教育课程进行了第三次修订，其主导方向可以归结为：学生的能力与将来的职业取向；基本的数学知识；学习数学的兴趣与信心；以计算器、计算机或具体材料为学具；能动的活动；运用各种方法进行教、学与评价。“数与计算”领域的重点在于正确理解数概念，以基本的计算能力解决问题并灵活运用于其他领域。

4.台湾数学课程改革的脉络及新进展

2001年台湾开始实行九年一贯课程，教育部公布的《暂纲》受建构式数学的影响很大，在《暂纲》修订之际，台湾院士级的数学家积极介入，形成了数学家和数学教育家的对立面，数学家把数学看成工具，强调习得知识的重要；数学教育家把数学看成解题，强调概念发展的重要。为回应学校和家长的反响，台湾教育部在2003年颁布的《正纲》中取消了建构式教学。《正纲》在教学上重视的是观念和演算，以及学生的数学经验（或数学感觉）的培养。

5.香港数学课程改革的进程及新进展

香港在2002年公布的《数学教育学习领域：数学课程指引（小一至中三）》提出，数学课程的宗旨是：使学生能够在这个科技与资讯发达的社会从容的应付日后在升学、工作或日常生活方面对数学的需求，并对终身学习有充足的准备。香港提倡教师在教学时采用不同的教学方式，可以讲解、讨论、练习也可以，有实践活动、解决问题活动和探究活动，尽量让学生有机会，自己进行探索和发现。

（三）运算能力的内涵

从数学的价值取向来分析，“运算能力”是不是就是要求运算的“又对又快”呢？现在已经引起越来越多的数学教育界和数学界的质疑。在信息技术如此发达的今天，是否还需要学生计算那样难的题目，并且算得那样快？现在有了计算机，所有的运算都可以用计算机辅助实现，是不是可以解放学生，引导学生做一些更多有价值的学习？比如数学探究和数学实践活动？这有个价值取向的问题，我们要思考我们应该培养什么样的学生，应该培养学生的什么能力。这是我们首先要思考和选择的主要问题。其次，我们要清楚：运算能力不能仅仅是算个数，应该从更宽泛和更深入的视角来考虑这件事情，包括对于运算对象的认识，包括对于为什么要做这个运算的思考，就是这些运算的背景是什么，运算法则和运算规律的探究、方法的选择，包括运算在哪些地方有用，学运算的目的是要解决一些什么问题，这对于我们理解和把握“运算”的概念实质都是极有帮助的。

基于对我国运算教学的历史溯源，以及对国际上部分国家和地区有关运算教学的改革历程，尤其是对《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》的解读，关于运算能力和通过运算对学生除计算技能之外的发展，我们可以初步形成以下一些基本观点：首先，运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。其次，运算能力不仅仅会算和算正确，还包括对于运算的本身要有理解，比如运算对象、运算的意义、算理等。最后，“运算”就是“两个得一个，结果唯一确定。”“两个”是指两个集合，“一个”是指对应法则，这其中蕴涵了函数的思想。

三、“运算教学“观念和教学方式的转变

（一）课改前后两种不同的议论声音

课改前，人们普遍认为中国学生的计算能力全球最高，为什么要进行改革；计算教学的训练单调枯燥，严重挫伤了学生的学习热情；过分强调精确计算，忽视了估算能力的培养；计算教学过于形式化、技巧化，严重脱离学生生活实际，等等。课改后，人们指出学生的计算能力（口算能力和笔算能力）严重下降；计算器的引入干扰了学生计算能力的形成；“算法多样化”影响了课堂教学的效率；在计算目标（速度和正确率）方面两极分化现象严重等。

（二）一线教师教学中的困惑

一些教师认为，算理固然非常重要，说那么多，学生真的理解吗？在计算过程中让学生会说一整套的程序化的语言，以表明学生对算理的理解。也有一些老师认为现在学生的计算能力下降了，算得慢了，结果也不准了。计算教学学生只要把法则牢记于心，反复“演练”就可以达到正确、熟练的要求。还有一些教师疑惑这次新课标修订把“运算能力”作为核心概念，目的仅是为了提高计算能力吗？

（三）专家对《标准》内容变化的解读

数的运算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的，由低级到高级、从简单到复杂。随着科学技术的发展，尤其是计算机和计算器的普及，“数的运算”中哪些知识是大多数人最常用和最基础的，也在发生着变化。江苏省著名数学特级教师在《人民教育》撰文解读了《标准（2011版）》关于“数的运算“的变化，第一，加强的内容包括注重计算与日常生活的联系。与传统的计算相比，《标准》注重了通过实际情境使学生体验、感受和理解运算的意义。另外，加强计算器的运用。借助计算器不仅有利于学生进行较复杂的运算，解决实际问题，而且还可以培养学生探索数学规律的能力。一方面，借助计算器可以引导学生探索一些复杂的、更为现实的应用问题；另一方面，学生可以用它进行大数目的加、减、乘、除四则运算，节约时间，提高计算的速度。计算器进入课堂，能逐步把学生从繁琐的技巧性计算中解放出来，以学习更多有用的数学内容。此外，还强化了估算的作用。估算是人们在日常生活、工作和生产中，对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量所进行的近似或粗略估计的一种方法。如今，复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成，与此同时，日常生活和工作中估算的作用也越来越突出。如人们在使用工具进行计算时，人们若具有一定的估算能力，就能对计算结果的合理性进行判断，并对其合理性作出解释。另外，在计算前对结果进行估算，可以使学生合理、灵活地用多种方法去思考问题；在计算后对结果进行估算，可以使学生获得一种最有价值的检验结果的方法。第二，在削弱的内容方面，首先删减珠算的内容。珠算作为我国传统的计算工具，其教学的形象性对于学生智力开发也有很大的促进作用，在历史上发挥了重要的作用。但是随着计算机的不断普及，人们基本上已经不采用珠算计算的方法。其次，删减繁琐的运算步骤。在整数运算方面，《标准》明确提出“进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。”在小数、分数运算方面，《标准》提出“会分别进行简单的小数，分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。”再次，删减运算的数目要求。在口算方面，《标准》提出“会口算百以内一位数乘、除两位数。”在笔算方面，提出“能笔算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。”

（四）专家对运算教学建议

北京教育科学研究院著名数学特级教师吴正宪老师在对全国数学骨干教师的“‘运算能力’的培养就是让学生算得又对又快吗？”的专题讲座中，对“数的运算”提出了如下教学建议：弄清楚运算能力的内涵（前方已经述及，不再赘述）；理解算理，掌握算法；处理好算理直观和算法抽象之间的关系；处理好算法多样与算法优化的关系。算法多样化与优化之间的关系，通性通法很重要；处理好技能训练与思维训练的关系；注重计算与日常生活及解决问题的联系；整体把握估算教学，提出好问题，培养学生合理估算的意识和能力。

（五）适度发展计算的强项，在弥补弱项上下功夫

“木桶理论”告诉我们：一只木桶盛水的多少，并不取决于桶壁上最高的那块木块，而恰恰取决于桶壁上最短的那块。因此要想提高水桶的整体容量，不是去加长最长的那块木板，而是要下功夫依次补齐最短的木板。我们的运算教学正面临类似的境况。对多年的PISA测试数据分析，可以看出：在计算技能上，中国学生明显胜于日本学生，这既反映了我国数学教学的传统和优势，可能也反映出在我国数学教学中对计算要求可能过高过严。另一方面，中国学生在掌握一些重要的数学概念方面不如日本学生扎实，如关于数轴和刻度的概念的理解与应用，中国学生表现出明显的差距。很明显，计算已经是我们的强项，但我们的弱项也很明显，特别是在提问题、想办法方面。20世纪最伟大，最有影响的荷兰数学教育家弗兰登塔尔说：“教育不能成为类似于把人训练成计算机的教育，因为人算的再快也快不过计算机，与其如此，不如让孩子去做那些计算机不能做的事情”。所以我们在运算教学上，应弱化重复型、机械的技能训练，突出算理和算法探究的思维训练；降低运算教学内容的难度，减少运算教学占用的时间和精力，腾出时间，让学生进行数学探究和数学实践活动。

（六）运算教学的改革刻不容缓

中央民族大学数学科学研究所孙晓天教授认为：算的又对、又快固然好，但让“对”和“快”从“慢”、“笨”一点点发展起来更好。学生通过自己的发现，在一个探究过程中领悟运算的来龙去脉及用途，有助于把运算从一套供记忆复制的、孤立的概念和程序的结合体，转化成一个充满思考和探索的、思想和应用相互交织的整体。他认为，这就是《标准（2011）》新增“运算能力”的意义。孙晓天教授表示，具有探究特质的运算能力，反映了数学作为“成长载体”的教育价值，它有助于那些可以普遍迁移的，如兴趣、好奇心（洞察力）、质疑能力、探究能力、反思精神、合作精神的养成成为现实。孙晓天教授建议：无缘无故的“算”可以有，但应适度，要重视“算”的理由。他指出：“快”不仅要考虑学习者的耐受性，更要把“快”的教育价值想清楚；运算能力一定要与时俱进，我们应当站在新的历史起点上为运算的教育价值定位；我们要从学生的全面发展、健康成长出发思考运算能力的培养问题；练习无疑是必要的，但要重视研究以重复型、机械性、速率式为标志的训练的科学尺度。

四、关于运算教学实践的建议

在广泛听取数学专家、数学教育专家、数学教科研人员、一线教师意见的基础上，逐步宣传项目理念和拟改革、改进的教学内容和教学方式。项目组初步形成以下共识：

（一）教学内容设置的建议

首先，各年段降低运算的难度（删减大数目的计算），让学生充分经历运算的全过程。其次，从第二年段开始，在解决问题时，准许学生使用计算器获得运算结果，以便学生有更多地时间和精力探求真正的数学。

（二）教师教学方式的建议

在教师教学方式方面，要做到：（1）在数的运算教学中遵循学生的认知规律和知识能力形成过程的特点进行，即数的运算的意义及四则运算之间的关系；获得运算的结果（包括估算、精确计算）；运算律及运算性质；运用运算解决实际问题。（2）要重视对运算意义的教学。加、减、乘、除运算的意义是核心概念，要让学生积累原型，让学生清楚在什么时候用加、减、乘、除运算。比如：加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型；乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型；除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。（3）要重视算理的教学。算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；运算法则是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足一定的道理。在实际教学时，要使学生理解法则背后的道理。不仅要让学生知道该怎么计算，而且还应该让学生明白为什么要这样计算，使学生在理解算理的基础上掌握运算法则。（4）通过多种方式帮助学生理解算理。为了帮助学生更好地理解算理，教师要善于选择多种方式。常用的理解算理的方式有实物原型、已有知识、直观模型等。其中直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形或圆形图、数直线；而实物原型指的是具有一定结构的实物材料，如元、角、分等人民币，千米、米、分米等测量单位。（5）在运算教学过程中，要让学生亲自经历和体验运算的全过程。教师要了解学生想法中所蕴涵的道理，鼓励学生个性化、主动地学习。鼓励学生自己探索如何进行运算，并且尝试说明自己这样算的道理。这些个性化、多样化的运算方法往往蕴涵着学生心目中的“算理”，对这些方法的比较和交流有助于学生理解算理。在此基础上教师再引导学生向通用的和经过现实检验的“公认法则”靠拢，学生对于算理的理解就会加深了。在探索和理解算理的过程中，学生获得了不只是运算的技能，学生的推理能力、发现问题、提出问题、分析问题的能力都得到了发展，学生的数学体验和数学思想方法的积累也在稳步递增，因为学生探索的过程正是数学家经历过的，或者是数学应该经历的过程。（6）对于计算法则的“熟练”，并不是要求学生对于所有的计算法则的使用都必须达到一定的速度，而是指形成必要的计算技能，从而在以后遇到此类计算时，学生能“自动地”使用法则。当学生面对精确计算的题目时，能够回忆起法则进行“自动”的运算，而当询问法则背后的道理时，学生又能运用自己的方式正确地加以表达。（7）有效利用学生的困难和错误。教师不能将学生的困难和错误简单地归为“粗心”，而要通过访谈等手段了解学生的真实想法，准确诊断学生困难和错误的原因，并力图去发现其中的原因和积极成分，把困难和错误当成资源来利用。如果教师不了解学生的真正困难，设计有效的活动帮助学生克服困难，学生可能只会机械记住法则。

（三）教学评价的建议

首先，在纸质学业水平测试时，减少纯粹计算的题目。把数学运算置于具体的问题情境中，考查学生对其中所蕴涵的数学本质的理解，能否在具体情境中进行合理应用。其次，在纸质学业水平测试时，探索对“算理”和“算法”测试的途径，形成有利教学导向，让运算教学向重视算理的路上行进。再次，在纸质学业水平测试时，增加借助计算器探索运算规律的题目，考查学生数学思考和发现问题等方面的能力。