方程——让学生如何说爱你

（温州市瓯海区南仙实验小学 浙江温州 325000）

教学现状:

题目:书店的图书凭优惠卡可打八折，小明用优惠卡买了一套书，省了9.6元。这套书原价多少元？这是人教版小学数学六年级下册百分数（二）单元第13页中的练习3，当时给学生们做这道练习，发现错误率比较高，但是列方程来解决这道题的同学几乎都是对的，于是就采访了一位做这题有困难的学生。

师：“这道题你的困难在哪里？”生：“我不知道怎么做？”师：“题目看不懂吗？”生：“看得懂，但是还是想不出来。”师：“你为什么不尝试用方程去做呢？”生：“方程太麻烦了，还要写解设。”师：“那你能找到等量关系吗？9.6元是怎么来的？生：“原来的价格减去现在的价格。”师：“现在假设原价是x，你能把方程列出来了吗？”生：“是不是x-80%x=9.6”师：“你看用方程不是很简单吗？为什么你不喜欢用方程来解呢？”生：“简单的问题不想用方程，难的有时候想不出方程怎么列，有时候是列了方程不会解”

接着我也采访了一位成绩比较好的同学，但是这道题也出现了错误，他写的算式是9.6÷80%

师：“这道题你能用方程来解吗？”生：“可以啊，x-80%x=9.6。”师：“你怎么列得那么快啊？那你当时为什么不用方程来解呢？”生：“没想到用方程，感觉算式更简单。”师：“那你现在能列算式来解这道问题吗？”生：“可以，9.6÷（1-80%）。”师：“你觉得哪种方法简单呢？”生：“算式简单。”师：“可是你不觉得方程更容易理解吗？”生：“可是现在会写了还是觉得算式简单。”[1]

原因探究：

原因一:算术方法根深蒂固，方程思想渗透不够

其实在五年级上册教学简易方程时，很多老师就会发现怎么学生对解决问题就是不喜欢用方程呢，而且很多学生在要求用方程来解决问题时，都是先用算术方法把算式是写出来，再把它写成方程。例如：小明看一本书300页，看了一些后，还剩下120页，小明看了多少页？学生们会把方程列成300-120=x，因为这就是他们平时做这道题时的正常思维方式。也是之前我们老师教给他们的解题方法，看了多少页就等于=原来的-还剩下的。在之前的四年学习里面，我们老师都是教他们这样的思维方法，但是突然到了五年级的这一天告诉学生们，你们要换一种方式去思考，那学生的接受度肯定是不够高的，特别是对于学习比较薄弱的学生，已经根深蒂固的思维方式要改变，其实换句话说，就是我们老师之前对方程思想渗透的不够。

原因二：找不到关系式

在辅导学生用方程解决问题时，我最常听到的就是学生说：“老师，我找不到关系式。”甚至有学生会问：“老师，什么是等量关系啊？”在列方程的教学中，我们最感到束手无策的是学生的方程问题列不出来，其关键题中的数量关系无法梳理，等量关系建立不出来。如“故宫的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？”。我们老师认为数量关系非常明确“天安门广场的面积×2－16=72”，而有相当部分的学生就是找不到，往往是列出“2X=72-16”这样的方程，老师通过画图、比较，一题会了，换一题又错了，怎么办？学生出现这样的问题，一是教材的编写有关，之前版本的教材对基本数量关系淡化，整套教材从一年级到六年级除了四则运算的四个基本关系式、图形的周长面积和表面积体积的求积公式以外，只明确出现过“速度、时间、路程”“的三量关系，所以学生头脑中的基本数量关系容量不足。二是学生从一到四年级接触和学习的解决问题全部是算术思考方法，特别对“多加、少减”的方法根深蒂固，一时难以改变。这些问题存在，我们在列方程解决问题的教学时，如何去解决？

原因三：会列不会解

在我们现行的教材（新课程实验人教版教材）中，在方程的学习过程中，没有出现类似于“a-x=b，a-bx=c和a÷x=b，a÷bx=c”这样的解方程，而在一些配套练习上，学生碰到了这类方程：如3.6－X＝0.7，很多的学生马上做成：3.6－X＋3.6＝0.7+3.6，X=4.3．做完之后，学生又马上发现不对．于是，很多人都说，老师，我们不会做。其中有一位学生却说，这不是很简单嘛，3.6减去一个数等于0.7，那么，这个数就等于3.6-0.7，所以应该这样做，X＝3.6-0.7，X=2.9．经她一说，很多学生都说，对呀，我们怎么没想到呀，这不是我们以前常填括号里的未知数吗？但是这样的问题，在教材上是没有出现的．也许也正是为了避免目前无法用等式的基本性质来解的情况，所以认为“以加可以代减，以乘可以代除”，有意将这类方程回避了，包括在列方程解决问题时，例题所出现的数量关系和列出方程全部没有呈现过。如果我们在解决方程时放弃了类似方程的学习，学习就对这类方程的求解方法存在缺陷，可是，当学生碰上了如3.6－X＝0.7的时候，我们又该怎么办？是避而不谈？在用方程解决简单的问题时学生也经常会出现，我们有意规避，那么他们在解决问题时为了考虑列出来的方程是否会解，常常会有意识的去放弃，一定要去选择会求解的方程的等量关系去思考，也就失去了一种解决问题的思考思路。如果需要将这类方程的求解方法教给学生，怎么教？，是引导学生将它改成：0.7＋X＝3.6？那么像上面这样引导学生去求解，正是他们小学一年级到现在所已经具有的经验解法，怕学生搞不清，很多的时候，我们阻止了学生这样的解法。虽然与我们现在所提倡的解法有所违背，可是，这样的解法是否可以用呢？如果我们用等式的性质去组织学习，还是以3.6－X＝0.7为例，其过程那是相当复杂：3.6－X+X＝0.7+X，0.7＋X＝3.6，0.7+X-0.7=3.6-0.7，X=2.9。这对于一些理解能力相对较弱的学生来说，无疑是更加增加了用方程解决问题的难度。同时，部分同学又与其他类型的方程出现混淆，无论什么题都会拿未知数消元。在现实教学中，我们有的老师是双管齐下，用算术和等式性质两种思路都教，但实际效果还是让人不满意。

方法与策略：

策略一：解题思路多样化

在之前的《数学课程标准》（实验稿）中，改变了小学二十几年来一直用算术思路解方程的要求，而改变为用代数方法解方程。《数学课程标准》（实验稿）明确提出了“理解等式的性质，会用等式性质解简单的方程，用方程解决简单的实际问题。”但是小学更多的题目使用算术法解决，利用四则运算的护你关系解方程，学生更容易接受和掌握，而且不存在解方程部分题型不能解或不会解的情况。然而在《数学课程标准》（实验稿）中大力倡导“用等式的性质”解方程，摒弃用“数学关系”的方法解方程，显然不符合小学生的实际。所以《数学课程标准》（2011版）中增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”。将“理解等式的性质”，改为“了解等式的性质”；将“会用等式的性质解简单的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。改为“能解简单的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。使一些目标的表述更加准确和完整，新教材更能从学生的实际学情出发，让教师在教学方程时也不再受方法的束缚。小学方程教学，算术思路必须牢固掌握，代数思路也必须渗透，两者结合。通过对比两种方法，使学生发现两种方法之间的内在联系，从而实现对算式思想解方程的更深认知，感受算术和代数的紧密联系，同时还有效的借助代数思路，强化学生对算式思路解方程的认知，帮助学生解方程要死记硬背的难关。

策略二:数量关系的渗透

方程是什么？它是刻画现实世界数量关系的一种最基本的数学模型。解方程其实就是建模的过程，找数量关系就是建立模型的关键。而数量关系在之前的教材中似乎已经被淡化，但是新教材又把数量关系拉回到它原来重要的位置。但是许多教师会忽略数量关系的重要性，曾经听过一位老师的一堂三年级下册连乘问题的课，课上的例题是这样的：超市一周卖出5箱保温壶，每箱保温壶12瓶，每个保温壶45元，超市一周一共卖出多少保温壶？学生列式：12x5x45，然后老师问：你是先算什么？生：我先算一共卖出了多少个保温壶？师：为什么是12x5呢？生：因为一箱12个，有5个一箱，所以乘以5。师：然后你再算什么？生：我用保温瓶的总数乘以一个保温瓶的价格求出一共卖出多少元。其实在这里就涉及到了两个数量关系式：份数x每份数=总数，数量x单价=总价，这些关系早在学生二年级的时候都已经开始接触，学生的回答已经非常好了，他已经找到了数据之间的关系，可是在这时候课上老师就没有点出数量关系式，我就在想：为什么老师不愿意在这里把数量关系式点出来呢？学生不是已经说出来了，如果再总结下，是不是就能把这些关系在这节课做一个渗透呢？于是我就问上课的老师，我记得老师是这样回答的：三年级的学生有必要让他们知道数量关系吗？可能这是很多低年级或是中段老师的想法，正因为如此许多五六年级的学生可能知道怎么解题，也不会说数量关系。我们的学生很早开始就在接触等量关系，比如被减数-减数=差，这就是等量关系，只是开始学生不知道何为等量关系。既然学生知道那为何我们得教师不能早一点渗透等量关系的思想呢?比如单价x数量=总价，对于低年级的学生其实他们也已经拥有了购买东西的经验，所以他们对这样的数量关系已经十分了解，只是我们老师总是害怕出示这样的公式给他们。当学生在接触到这类问题时，教师就可以提出这样的数量关系式，帮助他们建立单价、数量、总价的模型关系。

策略三：体现方程的优势

学生不喜欢用方程还有很大一部分原因是找不到方程的优势。其实在小学阶段让学生体会方程的优势确实比较困难。因为我们例题都是一些用算术法也能解决的问题，特别是逆向思维比较好的学生，对方程那是相当得嗤之以鼻。如何体现方程的优势？我想书上的例题只能让学生学会如何列方程，要体现方程的优势一定要做课外的拓展，我们可以利用对比分析的方法来向学生说明。例如可以用这样的一组题目来进行对比与分析：

（1） 甲数比乙数的1.5倍少2.5。甲数是6.5，乙数是多少?

（2） 甲数比乙数的1.5倍少2.5。乙数是6.5，甲数是多少?

我们可以先让学生用算术方法来解这组题目，待学生完成后再去统计学生作业的对错情况。因为这是将一正一反两道相关类型的题目摆在一起，互相受干扰，学生用算术方法解题，往往会出现这样两种错误：（1）学生未分清一倍数是否已知，结果将两道题弄混淆；这个问题，我们暂且不讨论。（2）已经判明“一倍数”是否已知，但在解第（1）题时出现大量的错误。这时，教师可以将学生在用算术方法解第（1）题时可能出现的算式都例举出来：1、6.5×1.5－2.5；2、6.5÷1.5－2.5；3、6.5×1.5＋2.5；4、6.5÷1.5＋2.5；5、（6.5－2.5）×1.5；6、（6.5－2.5）÷2.5；7、（6.5＋2.5）×1.5；8、（6.5＋2.5）÷1.5。这里一共会出现8个算式，但其中的7个都是错误的，只有第8个是正确的。这就说明用算术方法解这类题目时，出错的概率非常大。反之，如果用方程来解，就不会出现这样的情况了。

如果用方程解这一类题目，我们只需要列出一个等量关系式：甲 = 乙×1.5－2.5。然后再去判断“一倍数”是否已知，如果“一倍数”是已知的，如第（2）题，那么就直接用上述式子计算：6.5×1.5－2.5 = 7.25，就得到最后的正确得数了；而如果“一倍数”是未知的，如第（1）题，那么就利用上述式子列出方程：1.5X－2.5= 6.5，然后解这个方程，得到X = 6，也就得到正确的答案了。如此看来，在用方程解这两类题目的时候，解题思路是完全一致的，列出的算式或方程也是一样的，只不过是一个是把问题摆在等式的右边，而另一个将问题（未知数X）摆在了等式的左边而已。这样，学生只要将这一个数量关系式理解透了，那么解答这一类题目就驾轻就熟，轻而易举了。而这正是用方程解题的优势之所在。