浅谈空间向量与立体几何
2018-02-19云南省文山州广南县第一中学
云南省文山州广南县第一中学 王 龙
高考对立体几何平行与垂直的考查是高考的热点和重点，可以考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质，也可以考查线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质，解题思路有几何法和向量法两种.对空间角的考查重点考查异面直线所成角、线面角、二面角，思路也有两种，几何法与坐标法，几何法运算量小，但辅助线不易做，坐标法思路明晰，但运算量大，容易出错。利用空间向量解决立体几何问题，考查空间向量能力和运算求解能力和转化与化归思想。
一、刻画直线与平面方向的向量
1.直线
用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定。
2.平面
用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？
（1）所需条件：平面上的两条相交的直线。
二、空间向量可解决的立体几何问题
1.判定类
2.计算类：
（2）线面角：
（3）二面角：
（4）点到平面距离：设A为平面α外一点，P为平面α上任意一点，则A到平面α的距离为即在法向量上投影的绝对值。
三、点的存在性问题
立体几何在高考解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧。
解答此类题目，以2016全国卷Ⅲ，以第19题为例：
例1、如图，四棱锥P⊥ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面PAB；（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。
试题分析：
试题解析：
（II）取BC的中点E，连结AE.由AB=AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，
设n=(x,y,z)为平面PMN的一个法向量，则即
可取n=(0,2,1).于是
考点：空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角.
技巧点拨：
（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证。
（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理。
四、向量法解决二面角问题
解答本此类题目，以2017全国卷Ⅲ，理19第二问为例：
例2、如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD.
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.
试题解析：由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A( 1 , 0,0),B( 0,0),C( - 1,0,0),D(0 , 0,1).
设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量，则
考点：二面角的平面角；二面角的向量求法
技巧点拔：
（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算。
五、量法解决立体几何探索性问题
解答本类题目，以2016北京，理17 第三问为例：
例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=.
（I）求证：PD⊥平面PAB；
（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（III）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD?若存在，求的值；若不存在，说明理由.
试题解析：
（I）、略
（II）如图建立空间直角坐标系O-xyz，由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）
考点：空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力。
技巧点拔：
平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等。
高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查空间想象能力，线面关系、面面关系、数形结合的思想等。
高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；一种是考查学生利用空间向量解决立体几何的能力.重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，要求学生有良好的空间想象能力和立体几何素养。
