借助多元表征提高小学生数学理解力的实践研究

祁国敏

摘要：数学多元表征就是指同一数学学习对象的言语化表征、视觉化表征、操作化表征等多种外在表征形式。在研究中，言语化表征主要是指：口头语言、书面语言、形式化的符号语言等;视觉化表征主要是指：教具模型、实物情景、形态手势、图形、图表、图像、组织结构图等;操作化表征是指：学生自己动手操作的数学实验、日常生活实践、教师有目的地组织体验等活动。数学教学中往往需要借助多元表征来提高小学生的数学理解能力。

关键词：数学;多元表征;理解力

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1992-7711（2018）10-0032

2011年我国新颁布的《全日制义务教育课程标准》中指出：数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。学生掌握数学知识不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。

美国教育学家G.M.Bleinkin和A.V.Kelly曾说过：“教育不在于获得有用的知识或技能，而在于发展求知能力，不在于学习而在于达成理解，不在于获得信息，而在于完成智慧”。

在日常教学中，有些概念看似很简单，生活中很常见，或者一道数量关系并不复杂的问题，教师在课堂上反反复复说了很多遍，学生在学习过程中依然似懂非懂，最后，有些教师没办法了，就强行学生进行模仿或者大量的机械训练从而达到正确解决问题的目的。如此的教学，从学习心理学角度，教师发现学生并没有从认知的本质角度去理解知识，更谈不上利用自己已有的信息去主动建构知识;从课堂效益角度，这样的课堂显然是低效的，学生思维发展的空间受到极大的抑制，无法生成学生自己的数学智慧。

研究显示，对数学知识的理解大体上经历了经验型认识阶段、形式化认识阶段、关系型认识阶段和观念型认识阶段4个层次水平。也可用以下数学理解层次模型来描述学习者数学理解逐步深入的过程。

在教学中以及查阅文献的基础上，笔者发现多元表征能帮助学生提高数学理解力。正如Hiebert所言，如果一个数学概念、方法或事实被学生理解了，那么它的内在表征就成了认知结构的有机部分，内在表征之间相互联系的数目和强度决定了数学理解的程度。多元表征是数学学习对象的各种不同具体形式，内在表征是学生对外在表征内化的各种心智表征。外在表征与内在表征之间存在着密切关联，外在表征的形式与结构深刻影响着学生对数学的理解，内在表征的水平影响外在表征的内化程度。

数学多元表征就是指同一数学学习对象的言语化表征、视觉化表征、操作化表征等多种外在表征形式。在研究中，言语化表征主要是指：口头语言、书面语言、形式化的符号语言等;视觉化表征主要是指：教具模型、实物情景、形态手势、图形、图表、图像、组织结构图等;操作化表征是指：学生自己动手操作的数学实验、日常生活实践、教师有目的的组织体验等活动。

一、借助多元表征提高学生对数感认识的方法

数感是小学生必须具备的数学能力之一，是指数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。良好的数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。数感是对数的一种感悟，它不会像知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历建立、发展、感悟的过程。为此，在日常教学中帮助学生建立良好的数感十分重要。

比如在一年级《数字规律》这一课中，这节课的数学本质就是发展学生的数感。对于一年级的学生来讲，如何更好地理解“数感”这一抽象的数学概念，无疑借助多元表征，帮助学生感悟数感将会是一个非常好的教学手段。

上课伊始，笔者创设了这样一个情境：小兔子在家玩拼图形的游戏。

然后问学生：小兔子这几次拼的图形一样吗？有什么变化？大部分同学的第一反应都是直观的看出拼的图形也越来越多了。少部分同学能够关注到正方形的个数，当学生关注到正方形的个数的时候，笔者会带着学生数一数，读一读。这一环节主要是通过图形表征、语言表征使学生对数列的规律有一个初步的感悟。接着让学生通过不同的表征形式把自己所理解的多3表示出来。可以圈一圈、涂一涂、写一写、算一算。在这里面学生的理解水平也是不同的。

水平1：只能在图中圈出多3

水平2：能在图中和数列中找到3，但表达不清、不全。

水平3：能在图中和数列中找到3，并清楚准确表达出来。

水平4：能在图中和数列中找到3，并清楚准确表达出来，能比较清楚地加以概括。

当学生通过不同的表征形式找到这列数的规律后，教师组织学生大声的朗读规律，分组读、重点读，帮助学生更加深刻地记忆变化数列中不变的规律，潜移默化的发展学生的数感。在本节课中，笔者设计了涂一涂、圈一圈、读一读、算一算、写一写等多种表征方式帮助学生能够在变化的数列中表示出不变的量，真正获得找规律的方法，感悟数感。

二、借助多元表征理解数学概念的方法

数学概念揭示物质的本质、属性与共同特征，具有抽象性、复杂性、严密性，并蕴含着丰富的内涵，具有固定和同化新知识的功能。一切数学规则的研究、表达与应用都离不开数学概念，它是数学的基础，是学生计算能力提高，空间观念形成，思维能力发展的前提和重要保证。学习数学的过程就是一个不断运用数学概念进行比较、分析、综合、概括、判断、推理的思维过程。因此数学概念的教学是数学教学的核心，有着极其重要的地位。

《有余數的除法》是一节概念教学的课。概念教学不仅要帮助学生建立概念的多元表征，而且要根据需要与情境在外在表征的不同成分之间做出灵活转换。将抽象概念与学生已有知识经验建立有层次的联系，引导学生在概念的抽象意义、表象模型（或操作）、具体原型（或活动）之间寻找意义与数学化的过程。学习者需要通过多种表达形式并与已有的内在表象发生相互作用，以此促进或影响学习者的数学理解。