等价无穷小替换求极限的推广及应用

苏燕玲

【摘要】 等价无穷小替换是求函数极限的重要方法之一，掌握好该方法的使用条件，往往能大大减少某些函数极限的计算量，达到事半功倍的效果，本文在等价无穷小替换定理的基础上，给出了和差结构等价无穷小替换的条件，推广了等价无穷小替换求极限的方法.

【关键词】 极限;等价无穷小替换

一、积商结构等价无穷小替换规则

定理1  设α，β是自变量同一变换过程中的无穷小，且 α～α′，β～β′，又极限lim α′ β′ =A（或∞），则lim α β =lim α′ β′ =A （ 或∞ ）.

该定理告诉我们，在求函数商的结构极限时，若分子分母都是无穷小，则可以用其等价无穷小代替，函数的极限不变.

推论1  因式代替规则

设α，β是自变量同一变换过程中的无穷小，且α～β， φ（x） 为函数，且limβφ（x）存在，则limαφ（x）=limβφ（x）.

由定理1及其推论可知，若函数的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，函数的极限不变.

二、和差结构代替规则

定理2  设α，β是自变量同一变换过程中的无穷小，又α～α′，β～β′，当lim α β =C（或lim α β =∞），

且C≠-1时，则有α+β～α′+β′.

证明  因为α～α′，β～β′，

所以α=α′+o（α′），β=β′+o（β′），

lim α+β α′+β′ =lim α′+o（α′）+β′+o（β′） α′+β′

=lim α′+β′+o（α′）+o（β′） α′+β′

=lim 1+ o（α′） α′+β′ + o（β′） α′+β′  ，

其中lim o（α′） α′+β′ =lim  o（α′）   1+ β′ α′  ，

因为lim α β =C≠-1，所以lim α′ β′ =C≠-1，

从而lim o（α′） α′+β′ =lim  o（α′）   1+ β′ α′  = 0 1+C =0.

当lim α β =∞时，lim β α =lim β′ α′ =0，

lim o（α′） α′+β′ =lim  o（α′）   1+ β′ α′  = 0 1 =0.

同理可证，当lim α β =C（或lim α β =∞）时，

lim o（α′） α′+β′ =0，

从而有α+β～α′+β′.

推论1  设α，β是自变量同一变换过程中的无穷小，又α～α′，β～β′，当lim α β =C（或lim α β =∞），且C≠1时，有α-β～α′-β′.

推论2  設α，β是自变量同一变换过程中的无穷小，且β=o（α），则α±β～α.

证明  因为β=o（α），所以lim β α =0≠1，满足定理2及其推论的条件，即lim α±β α =1.

由定理2及其推论可知，在分子分母为和差结构的情况下，当分子分母满足定理2及其推论的条件下，也可以分别用等价无穷小代替简化极限计算.

定理3  设α，β，γ是自变量同一变换过程中的无穷小， 又α～α′，β～β′，γ～γ′，且满足lim α β =C 1≠-1，lim α+β γ = C 2≠ -1，则当C 1≠-1，C 2≠-1时，有α+β+γ～α′+β′+γ′.

该结论也可推广到有限个或无穷个和的情形，即有如下结论.

定理4  设无穷小

α 1～α 1′，α 2～α 2′，…，α k～α k′，且lim α 1 α 2 ≠-1， lim α 1+α 2 α 3 ≠ -1，…，lim α 1+α 2+…+α  k-1  α k ≠-1，则有 α 1+ α 2+…+α k～α 1′+α 2′+…+α k′，k≥2.

证明：由定理2可知k=2时成立，假设k=m成立，

即α 1+α 2+…+α m～α 1′+α 2′+…+α m′，α  m+1 ～α  m+1 ′，lim α 1+α 2+…α m α  m+1  ≠-1，

由定理2可知则有α 1+α 2+…+α m+α  m+1 ～α 1′+ α 2′+ …+α m′+α  m+1 ′，m≥2.

求极限是高等数学中非常重要的内容，等价无穷小替换是求函数极限的重要方法，使用中要注意代替的条件，使用得当就能够简化函数极限计算，起到事半功倍的作用，如果不注意使用条件，想当然地看到无穷小就代替就会导致计算错误.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]尤晓琳.极限的等价无穷小替换研究[M].河南教育学院学报（自然科学版），2011（3）：4-6.