数学核心素养视角下的问题情境的创设

张艳

《普通高中数学课程标准》提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象与数据分析六大数学核心素养.问题情境指的是教师有目的、有意识地创设各种情境，促使学生去质疑问题，并使之引起最强烈的思考动机和最佳的思维定向的这样一种情境.本文以一节高三复习课为例谈谈如何在数学核心素养的指引下创设有效的问题情境.

一、课堂实录

设椭圆C： x2 a2 +y2=1（a>1）.（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a，k表示）;（略）（Ⅱ）若任意以点 A（0 ，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

问题情境一：

教师：先请大家思考第二问中的关键词是什么？

学生：三个公共点.

教师：那么你觉得什么情况下会出现三个公共点呢？

学生：其中有一个公共点是切点的时候.

教师：你能画出这种特殊情形吗？

投影仪上用几何画板展示这种临界情况.

教师：当出现这种情形时，如何求a呢？

学生：这个时候圆的半径为2，联立圆方程与椭圆方程  x2 a2 +y2=1，x2+（y-1）2=4，  消x得，（a2-1）y2+2y-a2+3=0，Δ=0，得a= 2 .

教师：我们已经解决了有三个公共点的问题.那么除了“三个”，你还关注到了哪个关键词呢？

学生：至多.

教师：至多三个公共点时椭圆应该越圆还是越扁？

学生：越圆.

教师：那么a的取值范围能求了吗？离心率能求了吗？

学生：1<a≤ 2 .e=  a2-1  a = 1- 1 a2  ∈ 0，  2  2  .

问题情境二：

教师：让我们重新审视这道題.我们知道圆与椭圆都具有优美的对称性，所以当有3个公共点时，其中一个公共点肯定是什么？

学生：（0，-1）.

教师：另两个公共点之间有什么联系吗？

学生：关于y轴对称.

教师：也就是这两个公共点到点A的距离相等.

学生：任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点是不是说至多出现三个点与点A的距离相等？

教师：是的，也就是我们可以考虑椭圆上的点与点A的距离的平方：

d2=x2+（y-1）2=a2（1-y2）+（y-1）2=（1- a2）y2- 2y+a2+1，y∈[-1，1].

问题情境三：

问题1：求椭圆C上的点与点A（0，1）的距离的取值范围（用a表示）.

问题2：以点A（0，1）为圆心，r为半径的圆与椭圆C无公共点时，求r的取值范围.

问题3：直线f（y）=4与f（y）=（1-a2）y2-2y+a2+1，y∈[-1，1]的图像有几个公共点？

问题4：以A为圆心，2为半径的圆与椭圆有几个公共点？

问题情境四：

教师：以点A（0，1）为圆心的圆，当半径不断增大时，圆与椭圆的公共点个数会有哪些情形呢？

学生：当1<a≤ 2 时，以点A（0，1）为圆心的圆，当半径不断增大时，圆与椭圆的公共点个数依次为2个，1个，0个.当a> 2 时，圆与椭圆的公共点个数依次为2个，3个，4个，2个，0个.

教师：至多三个公共点时，a的取值范围应该是什么呢？

学生：1<a≤ 2 ，e=  a2-1  a = 1- 1 a2  ∈ 0，  2  2  .

问题情境五：

学生：当1<a≤ 2 时，圆与椭圆的公共点个数依次为2个，1个，0个，当a> 2 时，圆与椭圆的公共点个数依次为2个，3个，4个，2个，0个.当有3个公共点时，则一定会有4个公共点，题中问“至多3个”和问“至多2个”是不是相同的？

教师：是的.

学生：那为什么要问“至多3个”呢？

另一学生：可能是在提示我们临界情况.

问题情境六：

教师：第二问会不会与第一问有联系呢？我们能不能尝试从第一问出发来解决第二问呢？

学生：我们想想.

教师：通过前面的分析，我们知道3个公共点时应该有一个公共点是（0，-1），同时椭圆的左右两侧各存在一个点P，Q，使得|AP|=|AQ|=2.

学生：|AP|，|AQ|是第一问中的线段长，真的有联系.

二、课后反思

教育家陶行知先生曾说： “发明千千万，起点是一问，智者问得巧，愚者问得笨.”说明有效的问题情境对于激发学生的学习兴趣，提高学习热情，活跃课堂氛围，提高数学的思维品质，进而形成完善的人格具有积极的推动作用.核心素养指引下的问题情境的创设可以从以下几点进行：

1.注重问题情境的自然性：关注知识、思维的发生和形成过程，建构主义学说认为知识是不能传递，传递的只是信息，学生的学习过程是一个采集信息、处理信息、建构自己知识体系的过程.先在学生思维的最近发展区设置问题情境：公共点和三个.让每一名学生在课堂上都有思考的空间和任务，感受到“我”的想法是可以继续深入下去的，通过直观想象，问题的初步解决，学生真正展示了课堂主人的角色：敢思考、会思考、能解决问题.从思维的原始过程出发，设置尊重思维发展特征的问题情境，注重问题情境创设的自然性.

2.注重问题情境的过渡性：从圆锥曲线的对称性出发，将公共点个数问题转化为函数角度求距离问题，学生感受到圆锥曲线的对称性不仅具有美观性还具有实用性，合理地转换问题，注重数学知识和数学思想方法间的联系和转换，感受到合理的转换有助于我们思维的延伸和开阔，为后续解决问题起到过渡的作用，体现问题情境的过渡性.

3.注重问题情境的流畅性：有了问题情境二的过渡，问题情境三沿着思维的发展过程，设计问题串的形式，环环相扣，自然流畅，问题1函数角度借助图像解决范围问题，问题2特殊情形，明确圆与椭圆有可能出现无公共点，问题3从函数图像的交点个数的角度出发可以帮助我们解决问题，同时出现了3个公共点和1个公共点的特殊情形，为问题的解决指明了方向，问题4中，函数图像的交点个数问题回归我们所要解决的圆与椭圆的公共点的个数问题，在这一串问题的解决过程中，促进学生形成条理清晰、合乎逻辑，层次分明的思维品质，体现设置问题情境的流畅性.

4.注重问题情境的拓展性：通过问题情境四，学生能够从函数图像的角度解决公共点的个数问题，因此，顺着思维的发展方向，在学生跳一跳能够得着的地方设置问题情境四，既能感受到思维的碰撞，又能感受到学生问题解决后的自信和满足.既解决了这一问题，同时又对动态变化过程中的公共点的个数问题了然于胸，体现了设置问题情境的前瞻性和拓展性.

5.注重问题情境的深刻性：爱因斯坦曾说“提出一个问题比解决一个问题更重要.”有了问题四的铺垫，学生很自然会有问题五的疑惑，问题情境五，学生自己提问，在相互讨论中理解了出题者的意图，也学会了多方面看待问题，体现了设置问题情境的深刻性.

6.注重问题情境的关联性：数学知识间的相关性，前后问题的相关性，数学与现实生活的相关性，问题情境六让学生学会从联系和发展的角度看待问题、解决问题、拓展思路.

三、结束语

本文以一堂高三复习课为例，简要阐述在数学核心素养的指引下创设问题情境的六个关注点：自然性、过渡性、流畅性、拓展性、深刻性、关联.真正把“从数学知识的传授走向数学核心素养的生成”作为一个新思路，把培育数学六大核心素养作为新目标，学生必将能从数学的角度认识问题，以数学的态度思考问题，用数学的方法解决问题，进而能在真实情境中应用数学知识与技能理性地处理问题，并终身受益.