探讨高等数学中辅助函数的构造方法

袁晓华

摘 要：辅助函数在高等数学的解题及理论证明中有着广泛地运用，若选择适当的辅助函数可以使解题或证明思路简洁，可以将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题。文章对高等数学中辅助函数的应用做了一定的研究，阐述了辅助函数的构造方法，从而为相关问题的学习和研究提供参考。

关键词：辅助函数;构造;中值定理

在数学解题中经常运用辅助函数，如何构造辅助函数始终是一个难点，因此应努力寻找一些构造辅助函数的方法，使难的问题化为比较简单的問题来解决数学中的难题。另外，辅助函数到底在数学中有哪些应用呢，为此，文章进行了详细的归纳和总结。结合例子，文章主要分析和介绍了辅助函数的构造方法，这些方法有常数值法，原函数法，中值定理法，逆向思维法等，这些常用辅助函数的构造方法，可为相关问题的研究提供一定的借鉴和参考。

一、构造辅助函数的方法

在解题的过程中若我们用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，文章主要通过具体事例来介绍构造辅助函数的方法。

（一）常数值法

此法适用于常数已分离出的命题。构造辅助函数可以分为三个步骤：

（1）将常数部分令作k;

（2）恒等变换使等式的一端为a及f（a）构造成代数式，另一端为b及f（b）构造成代数式;

（3）分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是只要把端点a改写成x，相应的函数值f（a）改写为f（x），则变量后的端点表达式就是所求的辅助函数F（x）。

例1.1 设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，试证：存在一点ξ∈（a，b），使等式=ξf′（ξ）+f（ξ）成立。

证明：令F（x）=xf（x）-，显然F（x）在[a，b]上连续在（a，b）内可导。又设F（a）=F（b）=0，满足罗尔定理，于是至少存在一点ξ∈（a，b），使得F′（ξ）=0，即

ξf′（ξ）+f（ξ）-=0，

=ξf′（ξ）+f（ξ）。

（二）原函数法

在利用微分中值定理求解介值（或零点）问题时，要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点，因此可通过不定积分反求原函数作为辅助函数，其步骤可以总结为：

（1）将要证明结论中的ξ或（x0）转化成x;

（2）通过恒等变换将结论转化为易积分（或容易清除导数符号）的形式;

（3）用观察法或凑微分法求出原函数（必要时，可在等式两端同乘以非零的积分因子，为简单起见可以将积分常数取为零）;

（4）移项，使等式一边为零，则等式的另一边所需的辅助函数。

例2.1 设函数f（x）在[0，1]上连续，f（0）=0，f（x）dx=0。证明存在ξ∈[0，1]，使得f（x）dx=ξf（ξ）成立。

证明：=f（0）=0= F（0）所以F（x）在x=0处右连续，而F（x）在（0，1]上连续是显然的，因此F（x）在[0，1]上连续。此外，F（x）在（0，1）内可导，且F（0）=0，F（1）=f（t）dt=0

因此由罗尔中值定理知，存在ξ∈[0，1），使得

F′（ξ）==0，

即f（x）dx=ξf（ξ）。

（三）中值定理法

利用辅助函数来解决问题是高等数学中的一种常见的方法。而这一我们不太熟悉的思维方式，却可以通过拉格朗日定理的证明使我们得以认识，并从中揣摩其构造方法以及证明方法。不管最初定理证明时是否如此引入辅助函数，但这几种引入的方法却使我们去思考，去设想，去判断，去验证，从而合理模拟，从中体会到数学证明新的创意。

例3.1 设a>0，在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f′（x）≠0，证明存在ξ，η∈（a，b），使得f′（ξ）=f′（η）。

证明：根据拉格朗日定理，在（a，b）中存在ξ，使得

f′（ξ）=，

再根据柯西中值定理，存在η∈（a，b），使

，

于是f′（ξ）=f′（η）。

以上构建辅助函数的方法在一类证明中应用非常广并且行之有效，值得一用。在应用该方法构建辅助函数时应该注意一下两点：

（1）如果在所证的等式中只有一个变量，只要对照公式找出p（x）和q（x），计算出辅助函数即可;

（2）如果待证明的微分等式含有多个变量，可以先固定其中的若干个变量，然后用类似的方法构造辅助函数。

例3.2 设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=0。试证明：

（1）存在点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=;

（2）存在点x1，x2∈（0，1） =2。

证明：（1）由于f（x）在（0，1）上连续，所以由连续函数的介值性定理知，对∈（0，1）使得f（ξ）=。

（2）由于f（x）在[0，ξ]上连续，在（0，ξ）内可导，所以由拉格朗日中值定理知存在点x1∈（0，ξ）使得f（ξ）-f（0）=f′（x1）（ξ-0），即

（3）

由于f（x）在[ξ，1]上连续，在（ξ，1）内可导，所以由拉格朗日中值定理知，存在点x2∈（ξ，1），使得f（1）-f（ξ）=f′（x2）（1-ξ），即

（4）

综合（3）（4）可得。

（四）逆向思维法

例4.1 设f（x）在[0，1]上可微，且满足f（1）=xf（x）dx，证明在[0，1]内至少存在一点θ使f′（θ）=-。

证明：由所要证明的结论出发，结合已知的条件，因此要探寻恰当的辅助函数，

将f′（θ）=变形为f（θ）+θf′（θ）=0，联想到[xf（x）]′|x=θ= f（θ）+θf′（θ）可考虑辅助函数F（x）=xf（x），x∈[0，1]。

因为f（1）=xf（x）dx，由积分中值定理知，至少存在一点使得f（1）=ξf（ξ）。

而对于F（x）而言，有F（ξ）=ξf（ξ），F（1）=f（1）所以F（ξ）=f（1），

由Rolle定理知，至少存在一点θ∈（ξ，1）使F′（θ）=0，即

f′（θ）=-。

（五）按图索骥法

例5.1 证明（x>0，y>0<x≠y，n>1）。

证明：因为所要证明的不等式中，多次出现了tn这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数f（t）=tn（t>0），由于f′（t）=ntn-1，f″（t）=n（n-1）tn-2>0，因此可以知道f（t）是凹函数，从而当x>0，y>0，x≠y时即有，即。

二、结语

通过这几个例子我们总结了微分中值定理构造辅助函数的原函数法，中值定理法等其他方法和一般规律。构造辅助函数没有什么万灵的方法，它是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性。运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考能构造出合适的辅助函数，从而解决复杂的数学难题。

参考文献

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