“以本为本”：研读教材的几个视角——从函数图像与坐标轴公共点的习题表述说起

☉江苏省海安市海陵中学朱昌建

教材研读一直是很多老师的“自觉”课题，并且通过研读教材加深了对教学内容的深刻理解，理解了教学编排顺序的立意，理解了教材上某些数学概念的规范与严谨的表述，甚至对教材上的一些标点符号的使用都能读出深意，促进了自身的专业成长.本文从一节九年级随堂课的听课说起，对二次函数的图像与坐标轴的公共点进行概念辨析，并进一步给出关于研读教材的一些思考，供研讨.

一、从一节随堂课中的习题表述说起

最近听了一节青年教师的随堂课“二次函数视角看一元二次方程”，课中选用了以下一些习题：

题1：若抛物线y=x2-6x＋a与x轴有两个交点，分析a的范围；

题2：若抛物线y=x2-6x＋a与坐标轴有且只有两个交点，分析a的范围；

题3：若抛物线y=x2＋px＋q与x轴的两个交点分别为（-2，0）、（3，0），求p、q的值.

在师生的对话互动中，这些习题的解答都得到了确认，教学效果也是好的.然而对照教材上关于二次函数的图像与坐标轴的交点的描述，使用的都是“公共点”的说法，查阅一些中考试题，使用的也都是“公共点”的说法，不妨摘引两道中考题：

中考题1：（2016年南通市中考卷第26题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2＋bx＋c经过（-1，m2＋2m＋1）、（0，m2＋2m＋2）两点，其中m为常数.若抛物线y=x2＋bx＋c与x轴有公共点，求m的值.

中考题2：（2018年北京市中考卷第26题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x＋4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=ax2＋bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围.

从以上教材表述、中考试卷上的相关表述来看，使用的都是“公共点”的说法，可见上述题1～3中这种低端教辅资料上的表述是不规范的，应该予以纠错、规范.

二、相关概念辨析在网络上的研讨摘要

那么使用函数图像与坐标轴（或某直线）的交点的说法与公共点的说法，有怎样微妙的差别？笔者曾在某微信群、QQ群上发起相关话语的研讨，概述起来有如下一些意见，摘要主要观点，如下：

辨析概念：教材中说二次函数图像与直线有公共点，有很多教师讲课时说成了交点，哪个说法更恰当？

观点1：（来自一位初中教研员）人教版初中教材中基本上都是用“公共点”.我们可以回到初一“几何图形初步”时，教材上关于两条直线相交的情况有如下表述，当两条不同直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点.推及曲线（如抛物线）与直线的情形，说它们有公共点比交点显得“更上位”.

观点2：（来自上海一位退休的高中资深教研员）交点是从两曲线“相遇”的角度描述的，公共点是从两曲线点“公共”的角度描述的.两个说法描述的是同一件事，谈不上高处或低位说法.对初中生来说，无需追究这一细节，应认为两个说法都对.

观点3：（来自一位高中名师）这个问题主要是点的个数问题，高中教材中基本上都是用“公共点”，建议对于教材系统中有明确规定的，应该以教材为准，否则会扰乱一线的教学秩序；对于教材中没有约定的内容，在习题或考试命题中应该尽量回避或事先做说明.

三、关于教材研读的几个视角

视角1：研读教材上概念的规范表述

像上文中提到的案例一样，现在很多教辅资料、练习册上关于函数图像与直线的公共点都表述为交点，而一些教师对教材钻研不够，被这些不规范的教辅资料所“影响”，习惯成自然，一些规范的表述变得“自然而然”，对学生造成不良影响.比如，当学生习惯了函数图像与直线的交点这样的表述后，待到中考这样的重要考试，像考题1～2这样以规范的公共点出现时，一些考生如果在考场上纠结公共点与交点的区别，就会对考试带来负面影响.再比如，教材上关于方程的解的“结语”通常如下表述：

所以，原方程的解是x=2.

而有些教师对教材上的研读不到位、不细致，“习惯成自然”，写成：

所以，x=2是原方程的解.

后一种表述只能说明x=2是原方程的一个解，但没有精准指出原方程只有一个解（x=2）.

视角2：研读不同年级、版本的教材

著名数学教育家傅种孙先生每教一门课都要看若干本书，比较其异同，在他的教学生涯中，同一课题，今年讲的便与去年不同，第二遍绝不比第一遍轻松［1］.同样，研读教材不只是研读学生手头下发的那一册、一本教材，为了备一节课，我们常常要研究不同年级的教材、不同版本的教材，然后将适合的内容重组、建构成学材，帮助学生更好地学习、理解新知.比如，上文中关于九年级二次函数与坐标轴的“交点”“公共点”的辨析，有老师查阅了七年级的教材，回到“几何图形初步”一章中关于两直线的交点是如何定义的，找到了更为上位的“公共点”的概念，本着数学概念在定义上追求前后一致、逻辑连续的理解，为九年级教材函数图像与坐标轴的公共点进行“辩护”，也显示了研读教材的一种重要视角，值得我们学习.

记得前几年曾参加一次同课异构教研活动，课题是苏科版七年级第三章第1节“字母表示数”，这个版本的教材内容在人教版上是没有的，查阅到小学阶段学习方程时就已学过“用字母表示数”，而这节课在苏科版七年级教材中的内容也多是小学已学过的一些用字母表示数、式，列代数式（只是第1课时还不给出“代数式”的名词），然后就是一些规律探究的列式问题.由于研读教材的视角不够，有些教师把这节课上成小学阶段的“用字母表示数”的习题课，也有教师把这节课上成规律探究课，教学目标发生了偏离.只有少数教师较好地把握了这节课的教学目标与学习重点，即在具体情境中用字母表示数（式），体会字母表示数的简洁、明了，并知道在规律探究问题中用字母表示数量关系能让这类问题从特殊走向一般.

视角3：研读、对比教材新知导入情境

我们注意到《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出，要注意灵活选用生活现实、数学现实及其他学科现实引入新知.新世纪以来，由于过分倡导所谓生活情境导入新知，突出体现在一些教材上时时处处“注重”用生活现实引入新知，原本简洁、自然的由学科知识角度引入新知的也莫名其妙地“加塞”一个生活现实，这种过分注重导入的外在形式和非认知功能的生活情境已为不少数学教育研究者所批判［2］，并在改版后很多教材中得到纠偏.这就要求我们在日常备课过程中，注意对比教材新知引入时所用的问题情境是否已经变化，而不能停留在原有认知上，一个“教学惯习”形成后，往往不利于我们认真研习教材，对教材上的一些变化选择性忽视，看似研读教材不细致，实质上是“教学惯习”使然.比如，不少教师在引入勾股定理教学时，受到有些教材中情境创设的影响，仍然花大力气制作动画、视频，模拟、再现毕达哥拉斯到友人家做客，面对客厅的地砖灵光忽现，有了“重大发现”，发现并证明了勾股定理.且不论这个传说的真伪，这样的导入方式本身就值得商榷，特别是其中有很多非学科本质的内容会对后续教学产生干扰.其实勾股定理的导入方式，可以用中国古代的赵爽弦图简洁、明了地呈现出来，介绍我国古代的数学成就，并引导学生解读、理解中国古人的拼图智慧并学习勾股定理.

视角4：研读教材上例、习题的选编意图

人民教育出版社中数室资深编审章建跃博士曾说过：“课本是一科之本，课堂教学应‘以课本为本’.”教材中的例题、习题的选编也是值得教学中重视的.然而，现在有一种不好的现象，以“习题单式”的导学案代替教材，而习题单上所选的习题来自全国各地中考试题或所谓出处不明的名校模考题，这种“考题横行”的“去教材化”教学是危险的.凭心而论，目前全国各地多数地区的中考命题是地级市单位的命题形式，命题水平差异大，特别是省级单位的中考命题质量不可比较.很多教辅书商在这些考题、模考题的“引导”下组织教师作者汇编成练习册，又“引领”着一些教师进行习题教学，“劣币驱逐良币”的现象令人心忧.我们认为，青年教师的专业发展一个重要方面就是要认真研读教材上的例、习题，读懂例、习题的训练意图、编排顺序，弄清、辨析每个课时中的例题和习题的教学训练重点与难点，而不简单化地“这个教材例题太简单了，换成一个中考题”.以人教版八年级等腰三角形的判定为例，教材上安排了两道例题，例1是训练“等角对等边”，例2则是一道尺规作图题，作出等腰三角形.有些教师不理解例2的设计意图，其实这是对用“定义法”判定等腰三角形的一种例题跟进，同时训练了尺规作图题.想清这点后，教学中不但要让学生熟悉尺规作图的顺序，还应该在作法之后，跟进追问：为什么作出的三角形一定为等腰三角形？让学生运用“定义法”证明等腰三角形.