提炼基本模型，促进能力提升

☉江苏省如东县茗海初级中学陈兴国

以教材中的例题、习题作背景并进行中考试题的命制是最为普遍的，这些由命题专家巧妙构思编拟的中考试题往往具有权威性与导向性，教师在具体教学中应着眼于基本几何模型的提炼，并因此帮助学生提升学习效率与创造能力.

一、试题呈现

题目：如图1，正方形ABCD的边长是3cm，P、Q分别从B、A出发沿BC、AD方向运动，P、Q两点的运动速度分别为1cm/秒、2cm/秒.连接AP，并过点Q作QE⊥AP，垂足为E.

（1）求证：△ABP∽△QEA；

（2）若运动时间为t，则t等于何值时，△ABP≌△QEA？

（3）设△QEA的面积为y，如何用运动时间t来表示△QEA的面积y呢？（不考虑t的取值范围）

（提示：（2）、（3）两问的解答可以不分先后）

图1

图2

这道梯度清晰的中考试题能很好地考查学生对三角形全等、相似及函数有关知识的掌握情况.事实上，这是一道根据课本原题变化而来的新题，原题为：如图2，四边形ABCD为正方形，点G是BC边的中点，DE⊥AG，BF∥DE交AG于F，求证：AF－BF=EF.

将原题中的“BF∥DE交AG于F”去掉就变成了上述中考试题.

二、基本图形与模型的探索

从上述课本原题与中考试题的观察中，不难看出其中所蕴含的基本图形与几何模型：如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF交于点O.

图3

图4

性质1：若AE⊥BF，则AE=BF（或BE=CF）.

性质2：若AE=BF（或BE=CF），则AE⊥BF.

性质3：若点O是中心对称图形的对称中心，且存在AE⊥BF，则该图形的面积被AE、BF分成了四等份.

如果把线段AE、BF分别平移至GH、EF处（如图4），结论EF=GH仍成立.

直角与互余的性质得到了很好的利用，由此也不难看出如果由正方形变成矩形会存在三角形相似与对应线段成比例的结论.

如图5，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，且DE⊥CF，则

若把线段DE、CF分别平移至NM、HQ处（如图6），结论仍成立.

图5

图6

上述图形中可提炼的模型如下：

模型1：正方形+线段垂直或相等=线段相等或垂直.

模型2：中心对称图形+线段垂直或面积四等分=面积四等分或线段垂直.

模型3：矩形+线段垂直或线段成比例=线段成比例或线段垂直.

三、利用模型解题以促学生能力提升

1.利用模型1解题

例1已知：如图7，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.

（1）求证：AP=BQ；

（2）请在不添加任何辅助线的情况下直接写出图中四对线段，令各对中较长线段和较短线段长度之差与PQ的长度相等.

分析：由模型1可得AQ=DP，则可证明图形全等并得出AP=BQ，根据全等形可得AQ-BQ=PQ或PD-AP=PQ.

图7

图8

例2如图8，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE=30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB、DC交于M、N两点，若MN=AE，则AM的长为_____cm.

分析：由模型2可得MN⊥AE，由勾股定理与∠BAE=30°可求出AE=2，则AF=1，因此AM

2.利用模型2解题

例3【问题探究】

（1）在图9中作两条直线并将圆的面积四等分.

（2）如图10，M为正方形ABCD内一定点，在图9中作两条直线，并将正方形ABCD的面积四等分，请说明你的理由.

图9

图10

【问题解决】

（3）如图11，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P为AD的中点.若AB=a，CD=b，且b＞a，BC边上是否存在一点Q，令PQ所在直线将四边形ABCD的面积两等分呢？若有，PQ的长为多少？若没有，理由何在？

图11

分析：（1）由模型2可知，作两条经过圆心且相互垂直的直线即可令问题得解.

（2）联想模型2，过点M与正方形ABCD对角线的交点O作直线OM并和AD、BC相交于点P、Q，过点O作OM的垂线，并与AB、CD相交于E、F，则直线OM将正方形ABCD的面积四等分，如图10.

（3）如图11，延长BA至点E，使AE=b，延长CD至点F，使DF=a，连接EF.

由BC∥CF，BC=BE=CF=a+b，可证四边形BCFE为菱形，连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF，则AM=DM，则点M与P重合，则点P为菱形BCEF的对角线的交点.

在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a.设P点至菱形BCFE一边的距离为d，则

所以，当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成了两等份.

3.利用模型3解题

例4【探究证明】

（1）班上学习小组在讨论矩形内两条相互垂直的线段和矩形两邻边的数量关系时给出了以下问题，请证明.

如图12，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别与AB、CD交于点E、F，GH分别与AD、BC相交于点G、H.求证

图12

图13

【结论应用】

（2）如图13，在满足（1）的条件下，有AM⊥BN，点M、N分别在BC、CD边上的值为______.

图14

【联系拓展】

（3）如图14，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在BC、AB边上，则的值为______.

分析：（1）由模型3，过点A作AP∥EF交CD于P，过点B作BQ∥GH交AD于Q，如图15，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，由相似三角形的性质解题.

（3）过点D作平行于AB的直线，与过点A且平行于BC的直线交于点R，与BC的延长线交于点S，如图16，可证四边形ABSR为矩形，由模型3可得

图15

图16

设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10－y.

在Rt△CSD中，结合勾股定理，可得：

在Rt△ARD中，结合勾股定理，可得：（5+x）2+（10－y）2=100. ②由①和②，可求得x，并得出AR，问题得解.

四、反思

1.研究、开发教材需加强

很多中考试题都是专家在教材例题、习题的研习上精心开发、构思而编写出的，教师应能看到其中思路变化上的类比迁移并进行适当的拓展探索，改编一些例题中的原题并将题中丰富的教学价值体现出来，使学生能够在此类题的变化与探索中掌握、迁移其中的思路、方法与技能，使教材和中考试题之间的联系变得更加紧密.

2.建模教学需加强

几何图形中的每个基本图形都可以看作几何模型，几何模型所具备的性质和研究方法对很多复杂的几何问题都具备重要的作用和意义，教师应加强对基本模型的研究，并培养学生增强探寻基本模型的能力，使学生能够逐步获得利用模型解题的思维方法与能力，并积累一定的解题经验.

3.推理能力需强化

对几何图形性质的探究在近年中考试题中体现得尤为明显，学生在几何问题上的思维方式与水平在几何问题的解决中也彰显无余，因此，教师在平时的教学中，应有意识、有目的地变化问题的条件与结论，引导学生在图形的结构重组和更新中对题目的条件、结论进行大胆尝试与联想，打开思维的大门，并顺利建立模型，以发展猜想与创新能力.W