基础与能力并举，文化与素养齐飞*——2018高考数学北京卷试题评析与思考

☉北京市通州区潞河中学 白志峰

☉北京市通州区教师研修中心 王学一

一、试题概述

2018年高考数学北京卷继续保持多年来形成的格局.文、理试题适度区别，既保持相对稳定，又进行适度创新，难度较去年有所提升.试卷坚持了北京卷“简洁、清晰、亲切、严谨”的风格，避免了“偏题、怪题、难题”，客观题难度适中、主观题层次分明.入口低、坡度缓、梯次递进、步步深入，切合北京市的实际情况.同时关注新高考的改革趋势，坚持立德树人的价值导向，既体现了高考的选拔功能，又在中学数学教学的导向方面进行了有益的探索.

二、试题的主要亮点

1.立足基础，注重本质理解

北京高考数学试题十分重视对基础知识和基本技能的考查，充分关注未来社会对公民所要求的共同的数学基础，充分关注基础知识在能力形成过程中的作用.纵观今年文理试卷，不难看出，试题不追求特殊技巧，注重通法通性，倡导对数学知识的本质理解和感悟.试卷整体上保持较大比例的基础题和中档题.选择题和填空题大多以考查基础知识为主，检测学生对一些数学核心概念和基本性质的理解和掌握情况.例如，文科第7题，在平面直角坐标中给出单位圆上的四段弧和tanα，cosα，sinα的大小关系，要求判断P点的位置.该题设置巧妙，用一道题考查了三种三角函数的定义，如果考生对定义有本质理解，结合三角函数线可直接得出结论，无需计算论证.又如理科14题，考查的是椭圆双曲线的定义、方程、性质等基础知识，但解答时需要考生对于相关知识有融会贯通的、本质的理解，需要的是感悟与升华，靠简单的重复训练是不可以的.

2.突出主干，注重数学思想

试卷以《考试说明》为依据，围绕函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、统计与概率、导数等支撑学科知识体系的主干部分设置试题，解答题不刻意追求知识的覆盖面.既注重主干知识的交汇，又注重对数学思想的考查，并将多样的数学思想方法，置于“平凡”的数学问题之中，体现了“数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁”这样的认识高度.

例如，文科19题、理科18题的第2问，需要对参数进行分类讨论；借助文科第13题、理科7、12题考查数形结合思想；借助文理第8题考查转化与划归思想；借助文科20题，理科19题综合考查函数与方程、转化与化归等数学思想，等等.解答时需要考生对各部分知识的通法通性有较深刻的感悟，需要考生具备较强的学科能力.

3.关注文化，注重价值取向

数学文化的内涵是多方面的.文［1］提到：“数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出来的对于人类发展具有重大影响的方面，它既包括对于人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用，对于人的思维训练功能和发展人的创造性思维的功能，也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取的精神等.”由此可见数学文化中包含了数学在育人过程中体现出来的独特作用：培养人锲而不舍的意志品质，敢于质疑批判的创新意识.其价值取向是立德树人.

理科第4题（文科第5题），选取我国“明代朱载堉最早用数学方法求出半音比例”这样的优秀传统文化题材，和数列知识相结合设置试题，一方面从数学的视角欣赏和理解优秀传统文化，另一方面让学生体会数学在其他学科中的应用价值，和在人类文明中的贡献，从而增加文化自信，增强民族自豪感.

文科11题以不等式为载体，理科13题以函数的单调性为载体，设置开放性试题，引导学生开放性思考，要求学生能通过构造反例证明一个假命题，考查学生是否具有严谨求实的科学态度以及批判质疑的创新意识.

数学是人类文化的重要组成部分，高考对数学文化的渗透必将开拓广泛的领域，从而对中学数学教育教学产生巨大影响.

4.聚焦素养，注重理性精神

提升学生的数学素养是新课标理念下数学教育的根本目标.北京高考试题密切关注对六大数学核心素养的考查，引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言描述世界，注重数学的理性精神.

例如，理科5题和16题，文科6题和18题考查学生的直观想象素养；理科20题以抽象的符号语言为题干，考查学生能否正确理解抽象的数学概念，并在此基础上进行符号化的数学表征和逻辑推理.要求考生具有较高的分析问题、解决问题的能力，综合衡量学生的数学抽象、逻辑推理等素养；具体体现在文科20、理科19题中代数证明问题，用以考查学生的逻辑推理素养.

多角度、多层次考查数学运算素养.解答题中，三角函数、立体几何、圆锥曲线、导数等试题里，涉及到众多的运算，没有高难度的繁杂的数值计算，而是站在培养学生数学运算素养的高度，考查学生是否能够快速明确运算对象，准确选择运算方法，合理确定运算程序和获取运算结果，同时考查学生在实施运算过程中遇到运算障碍会调整运算的理性思维能力，以此增加区分度.

文、理科17题给出了“电影公司收集的2000部各类电影的有关好评率”的一组数据，试题背景相同，文理设问各有侧重.试题展现的是大数据时代下，读图、读表、数据处理的统计分析方法.考生需要阅读理解、提取信息，考查学生应用所学的统计知识进行数据分析和构建模型等素养.其中理科第3问要求对六类电影的喜欢程度的方差做出比较，既可以用方差的计算公式得到结论，也可以用方差的实际意义得到结论.不同的做法所耗费的时间大不相同，可以甄别考生理性思维的水平.

三、试题对教学的导向

鉴于新课标的实施和高考的改革，高考试题对此进行了有益的探索，这无疑对教学产生了积极的导向作用.启示我们要关注如下两个转变：

1.从文理分卷到文理合卷

从2017年高考开始，文理试题趋同趋势增大，为2020年实现文理同卷的高考改革探路.我们看到2018年文理相同题目达9道（含2道姊妹题）.其中作为基础题的选择题1至5题，填空题中的9至11题，以文科为起点，难度显然有所降低.作为传统的创新题之一，文理第8题相同，比较2016年以前的高考第8题，对于文科生来讲难度增大了，对于理科生来讲，难度有所降低.这是近两年的最大改变.我们可以预想：将来必然是“文科为起点，理科为落点”的命题方式，在这样的大背景下，我们的教学应该怎么做，需要思考，需要实践.

2.从能力立意到素养导向

随着新课标的实施，高考命题的理念已经从能力立意转向素养导向.任子朝先生在文［2］指出：“素养导向的高考命题注重基础知识的理解与巩固，注重科学素养的提升，科学思维方法的掌握，科学态度的形成，注重解决生活中的实际问题.素养导向的高考命题引导中学教学尊重学生的主体地位，激发学生学习的主观能动性，帮助学生养成良好的学习习惯，从而为国家培养全面而有个性的社会主义建设人才.”

所以教学实践中应该注重学生科学思维的养成，培养学生用严谨的科学思维、严肃的科学态度去思考问题；要注重培养学生的探究能力，利用探究型、开放型的问题拓展学生的思维空间.数学教学不仅要关注知识的掌握和能力的形成，而且要关注“人的发展”.教师要不断加强学习、提高认识，重新审视自己是否理解数学，是否理解数学教学，是否理解高三复习的育人高度和价值追求.唯有如此，教师才能把握好自己的教育教学.

四、对高考复习的几点思考

1.夯实“四基”，以不变应万变

一方面，文理试题将走向统一，基础题的份量势必增大；另一方面，北京高考试题通过“深化概念、规避题型、创新设计”等手段来增加区分度.所以高考复习务必注重基础，这里的基础是指：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.

比如数学概念的复习，绝不能简单采取“罗列概念—几点注意—例题选讲”的形式，而要重新审视概念的形成过程，强化对概念的本质理解，以问题驱动提升学生对概念的理解层次，在解决问题中获取对概念的感悟与升华；要以结构化、逻辑化的原则构建概念间的联系，因为孤立的知识点不易理解、不易记忆，也不能形成有效的技能.比如斜率的概念，要深度思考斜率概念的形成过程，深度思考为什么用倾斜角的正切值来定义斜率，而不用正弦值？也要建立斜率与函数的单调性的联系，斜率与导数的联系，还要引导学生搞清楚斜率在物理、化学中有哪些体现？这样的复习才是有效的，才可以达到以不变应万变的效果.

2.关注思维，实现解题教学的最大效益

高考试题的设计是以数学知识为载体，从学科的整体意义和思想价值高度来立意的，进而考查学生对数学思想和方法的理解程度，以及理性思维的水平.

高三的大量课堂是在进行解题教学.存在的最大问题是“题型覆盖”和“解法罗列”，大容量的数学习题挤占了落实数学思维的空间，容易形成模式化、程序化的定势思维.教学实践表明，高考成绩与做题多少不成正比.所以解题教学的根本之道是帮助学生提高思维水平.为此应该做到如下几点：（1）要准确把握学生的思维习惯、认知基础，并以此作为解题策略的生成点；（2）要回避“告诉式”的教学方式，要善于引导学生形成有效的解题思路和进行有效的变通；（3）要鼓励学生敢于质疑，大胆尝试，教师要善于挖掘学生观点中的合理成分，顺势而为，自然和谐地生成学生的解法.正所谓“教之道在于度，学之道在于悟”.

3.正视运算，让学生想得出来、算得出来

北京高考试题的特点是题干简练，背景公平.考题没有晦涩难懂的语言叙述，大多数考生在审题这一环节上基本不存在障碍，这样有利于减缓考生的心理压力.考生容易下手解题，大多数题目关键在于运算.

数学解题离不开运算，但目前不可回避的一个问题是学生的运算能力普遍有所降低.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算方法、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到运算障碍而调整运算的能力.课堂教学要把运算落到实处，要让学生想得出来并且算得出来.比如，高考解析几何试题，对于运算量的大小、运算长度的设置、运算障碍的设置都是经过慎重考虑的，在整个试卷里是合理配套的，因而也是考生应该具备的，不可回避的.所以平时的训练要到位，要落到实处，教师不能一味引导学生规避运算，要鼓励学生敢于运算、善于运算，提高克服障碍的勇气和信心，要树立运算是演绎推理的观念.