纵横联系：结构化处理教学内容*——“单元”视角下的“抛物线的标准方程”教学设计

☉华东师范大学第二附属中学 任念兵

数学理解的本质就是数学知识的结构化、网络化和丰富联系.每节课的内容都是整个数学学科知识网络中的一个节点，教师只有树立数学的整体观，站在数学整体结构的高度来认识每节课的教学内容，才能设计出更加有利于学生学习的教学环节，促进学生对数学的理解.

本文将阐述笔者对于“单元设计”的认识，以“圆锥曲线”的单元设计（中观层面）为例，结合“抛物线的标准方程”一节课的教学设计，讨论如何在每节课的教学设计中（微观层面）落实单元整体设计的理念.

一、“单元”与“单元设计”概述

吕世虎教授指出，目前对于“单元”的理解主要有两种：其一是现成教材中的章节，其二是根据教学内容在结构上的联系等重新组合的“大单元”.在数学教育界，与“单元”类似的概念是“知识团”.史宁中教授认为，数学教育研究的基本研究单位是知识团，即具有明确逻辑关系的知识点的集合.知识团包括若干知识点（广度），其中知识点分两类：概念和命题，概念是研究的对象，命题是对象之间的关系.

所谓“单元设计”是指：在系统思维的指导下，从提升学生数学核心素养的角度出发，对教材中“具有某种内在关联性”的内容进行分析、提炼、重组、整合为相对完整的教学单元，并在教学整体观的指导下，将教学诸要素有序规划，以优化教学效果的教学设计.

关于“单元设计”的具体方法，现有文献讨论了三种：其一，以核心数学知识为主线的主题类单元，比如三角函数、圆锥曲线等；其二，以数学思想方法为主线组织的专题类单元，比如数形结合思想、分类讨论思想等；其三，以数学核心能力、数学核心素养为主线的素养（能力）类单元，比如直观想象能力、逻辑推理能力等.前两种方法在教学实践中的可操作性较强，比如高三复习教学中就会专门设置数学思想方法的专题复习，而第三种方法在具体教学素材选择和内容组织上难度很大，可操作性不强，学生数学核心素养的培养不可能通过一个单元或者一个专题一蹴而就，而应在每节课的教学中“润物细无声”地渗透.

笔者以为，除了通过章节大单元结构重组（比如函数内容的重新组合）、数学思想方法专题这两种单元设计方法外，还可以数学核心概念为主线，将散落于教材中的相关知识点整合成专题类单元.比如，“距离”是数学核心概念，在复习课中可以设计一个单元，帮助学生理解“距离”概念的内涵与外延.学生在中学阶段学习了各种“距离”概念，平面几何中有“点到直线的距离”“平行线之间的距离”，立体几何中有“点面距离”“线面距离”“面面距离”“异面直线间的距离”等等.各种“距离”概念字面定义都是特殊情况下的两点距离，比如“点面距离”是点到平面的垂线段的长度.教师只有通过分析比较才能揭示概念的本质，这些距离概念的内涵就是“两点距离的最小值”，一般而言，两个点集之间的距离可以归结为这两个点集的元素之间距离的最小值.从概念外延角度看，球面距离和有向距离是“距离”概念常见的两个外延.此前提及的距离的本质都是两点之间的直线段长度，而球面距离则是球面上两点沿着球面上的任意路径中的曲线长度的最小值，前者对应着欧氏几何，后者对应着球面几何.有向距离通常用来判断两个点是否位于直线的同侧.类似的核心概念还有“角”“运算”等等.

一般而言，以核心知识为主线的主题类单元（一章或几章）比较适合新授课；以核心概念为主线和以思想方法为主线的专题类单元，比较适合复习课教学，尤其是高三总复习.

二、单元设计的“基本套路”与设计要点

章建跃博士指出，在中观层面上应引导学生以数学概念的发生发展过程为载体，经历完整的数学思考过程，从而掌握研究一个新的数学对象的“基本套路”，具体包括：明确研究的问题，获得研究的对象，确定研究的内容，选取研究的方法，建构研究的过程，获得研究结论等等.

研究数学对象的“基本套路”适合以核心数学知识为主线的主题类单元，比如圆锥曲线单元.考虑到椭圆、双曲线和抛物线在研究方法和研究内容上的相似性，笔者以为，将它们与“直线”“圆”分离开来当作一个相对独立的单元（圆锥曲线）进行整体设计比较妥当.

圆锥曲线单元设计的基本套路：定义（第一定义）—表示（标准方程）—划分（按照建系方式不同）—性质（曲线中的要素及相关要素的相互关系）—特例—联系（应用）.除了遵循数学研究的基本套路外，圆锥曲线的单元设计还应把握以下几个设计要点：

第一，注重概念的统一.在沪教版教材中，圆锥曲线的第二定义现在已不作教学要求，因此在单元教学中应紧扣建立在“距离”基础上的第一定义.在圆锥曲线教学之前，学生已经知道了到两定点距离之比为定值（不为1）的点的轨迹是阿波罗尼斯圆，这相当于“除法”运算，由此自然联想到：到两定点距离之和（之差、之积）为定值的点的轨迹是什么图形？这就建立起阿波罗尼斯圆、椭圆、双曲线、卡西尼卵形线的内容联系，四则运算在这里就是一种数学内在逻辑.当然，卡西尼卵形线可让学生课外探究.研究了椭圆、双曲线之后，可以引导学生从动点到“两个定点”的距离迁移至动点到“一个定点、一条定直线”的距离，从而引出抛物线的概念.

第二，注重研究方法与研究结论的类比.利用方程来研究曲线的性质，是圆锥曲线性质研究的基本方法.在学完椭圆及其性质之后，完全可以类比椭圆的研究过程来研究双曲线和抛物线，比如基本性质、直线与圆锥曲线的位置关系、光学性质等等.当然，类比既要关注对象之间的相似性，又要辨别对象之间的不同点.比如双曲线具有渐近线、抛物线是无心曲线等，这分别是双曲线、抛物线区别于其他圆锥曲线的特性所在.

第三，注重研究思路的剖析.教材中的每个课程单元或者主题模块，都有相应的研究思路.比如，圆锥曲线性质的研究思路是整体性质→局部特征→与系统环境的关系.所谓“整体性质”，指圆锥曲线体现出的整体特征，包括对称性、顶点、范围等；所谓“局部特征”，指圆锥曲线相关要素体现出的特征，比如圆锥曲线上的点与焦点构成的线段（三角形）的性质等；所谓“与系统环境的关系”，指圆锥曲线与其他曲线的位置关系，最典型的问题是圆锥曲线与直线的位置关系，圆锥曲线中某些特殊弦的研究都可以归入这类关系中.椭圆、双曲线、抛物线性质的研究都遵循这样的研究思路.

第四，注重与其他单元之间的联系.圆锥曲线单元教学，除了不可避免地与直线、圆等解析几何内容联系紧密，还与初中的反比例函数、二次函数等内容联系紧密.处理好反比例函数图像与双曲线、二次函数图像与抛物线之间的关系，可以借助已有的知识储备，加深对圆锥曲线知识和方法的理解，帮助学生构建前后联系、层次分明的圆锥曲线认知结构.

按照上海市高中数学课程标准，圆锥曲线单元共安排8节新课，在单元设计的基本流程和四个原则的指导下，每节课都有各自的“使命”.下面的“抛物线的标准方程”课例就是在圆锥曲线单元设计思路下的微观教学设计，体现了“抛物线的标准方程”在整个单元中的地位、该课时与单元内其他课时甚至其他单元之间的联系.

三、单元设计视角下的微观教学设计

在圆锥曲线单元设计的视角下，需要在概念统一、研究方法、研究思路、注重联系等方面重新审视“抛物线的标准方程”的教学内容，结合学情分析，设置相应的教学目标.

首先是解析教学内容.“抛物线的标准方程”是沪教版高中数学课本第12章圆锥曲线第7节的内容，主要研究抛物线的定义和标准方程.本节课类比椭圆的研究思路，给出抛物线的定义，并用方程表示抛物线，为下节课“利用抛物线方程研究抛物线的性质”做准备.

抛物线的定义是抛物线的标准方程和性质研究的源泉，抛物线的标准方程是抛物线的“定量”表示，因此抛物线的定义和标准方程是本节课的教学重点.

其次是分析学情.学生在日常生活中对抛物线有一定的感性认知，已经学习了椭圆和双曲线的方程，熟悉求曲线方程的一般步骤，具备一定的数形转化的能力.由于学生在初中学习中，知道二次函数的图像是抛物线，甚至把抛物线等同于开口向上（下）的二次函数图像.在抛物线标准方程的推导过程中，应让学生认识到建系方法的不同可以得到四种类型的抛物线标准方程，而二次函数的图像（顶点平移到坐标原点后）只是其中的两种类型.因此，统一对抛物线概念的认识，做好初高中知识的衔接，是本节课的教学难点.

最后是设置教学目标.根据上述分析，设置本节课的教学目标如下：

（1）理解抛物线的定义，掌握四种类型的抛物线的标准方程；

（2）会推导抛物线的标准方程，掌握抛物线标准方程y2=2px（p＞0）中p的几何意义，在建系推导抛物线的标准方程的过程中体会数学的简洁美；

（3）理解作为二次函数图像的抛物线与从几何角度定义的抛物线概念的联系和本质统一.

下面是教学过程设计：

（一）回顾引入

师：椭圆和双曲线是考虑“动点P到两个定点F1、F2的距离|PF1|、|PF2|，通过（加、减）运算所得结果为定值”的点的轨迹.现在我们考虑动点P到一个定点F、一条定直线l的距离|PF|、d的关系.

问题1：考虑动点P到定点F、定直线l的距离|PF|、d，针对这两个量可以研究哪些问题？

生：“比大小”“对两个量进行运算”.

师：我们考虑使得|PF|=d相等的点P的轨迹.

【设计意图】“距离”是几何研究的核心概念，圆锥曲线的概念始终围绕着“距离”展开.由“到两个定点的距离”联想“到定点和定直线的距离”，建立新知（抛物线）与旧知（椭圆、双曲线）的联系，可以自然地引入抛物线的定义.这里关注了圆锥曲线概念的统一.

师：（几何画板演示）平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

【设计意图】在给出抛物线定义时，强调“F不在l上”（否则轨迹是过F且垂直于l的直线），帮助学生加深对抛物线定义的认识.

（二）探索新知

问题2：如何建立坐标系求抛物线的方程？

【设计意图】求抛物线的方程，在如何建立坐标系的思考过程中，是可以发展学生的思维能力的，让学生体会到数学求简的精神.从本质上说，坐标系的选取是人为的，但不同的建系方法得到的曲线方程的繁简程度不同.

由抛物线的定义易知，直线KF是曲线的对称轴，故可选该直线为x轴，但对于原点的选取，学生可能有如下三种选择：其一，以K为坐标原点；其二，以F为坐标原点；其三，以KF的中点为坐标原点.通过化简方程，可以发现以KF的中点为坐标原点，所得到的抛物线的方程最为简单.

另外，对参数p的分析，指出p是抛物线的“基本量”，还可以从极限角度说明定义中强调“F不在l上”的原因.

问题3：如果建系时，使焦点F分别在x轴负半轴上、y轴正半轴上、y轴负半轴上，即F坐标分别为猜想所得抛物线的方程分别是什么？y2=-2px（p＞0），x2=2py（p＞0），x2=-2py（p＞0）和y2=2px（p＞0）都叫做抛物线的标准方程.

【设计意图】完整呈现由于建系不同而产生的抛物线标准方程的四种表示形式，限定了今后抛物线方程研究的对象——标准方程.

（三）知识应用

例1 根据下列条件写出相应的抛物线的标准方程：

（1）焦点坐标为（0，-1）；

（3）经过点M（-2，-4）.

【设计意图】通过例1巩固对抛物线标准方程（式子结构）的理解.抛物线只有p一个基本量，在确定开口方向的前提下，仅需一个条件就能确定抛物线的标准方程.

例2 抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，求点M的横坐标.

【设计意图】抛物线的定义和标准方程是抛物线的几何和代数的两种表示，根据具体问题，灵活选择抛物线的表示形式，巩固对抛物线的定义和标准方程两者内在联系的理解.

例3求抛物线y=ax2（a＞0）的焦点坐标、焦点到准线的距离.

【设计意图】通过例3揭示初中、高中抛物线知识的内在联系和本质统一.初中是从函数角度研究抛物线，关心的是函数的形式和系数；高中是从几何角度（焦点和准线）引进抛物线及其方程的.

（四）课堂小结

（1）通过类比椭圆的定义，引入抛物线的定义；

（2）抛物线的标准方程刻画了焦点和准线的位置，开口的方向和大小.求抛物线的标准方程就需要明确开口的方向和参数p的值；

（3）在推导抛物线方程的过程中，合理建系的原则是力图方程形式最简洁；

（4）二次函数的图像是抛物线，与高中的抛物线的定义本质上是统一的.

【设计意图】总结本节课的研究要点，勾勒出抛物线方程的本质（只有一个基本量p），梳理抛物线与椭圆、二次函数的联系.

（五）课后探究

设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若F是△ABC的重心，求|FA|+|FB|+|FC|的值.

【设计意图】巩固对抛物线定义的理解，结合三角形重心的坐标公式，训练学生综合运用知识的能力.

在日常教学设计中，从单元教学的整体目标出发，统揽全局，自觉地将每一节课都置于所在单元、数学分支甚至整个中学数学课程的整体背景中，联系该节课的上位知识和下位知识，结构化处理教学内容，构思“纵横联系”的微观设计，是精细化研究教学设计、锤炼教学设计能力的重要法门.