浅析数学教学中对学生逆向思维的培养

☉江苏省南通西藏民族中学 张兰云

灵活性是数学思维的重要体现，在很多数学问题的分析过程中，我们需要变换自己原有的思维方式，按照相反的方向来研究和探索问题，这就是所谓的“逆向思维”.在高中数学学习过程中，我们要求学生能够娴熟地使用正向和逆向这两种思维模式来处理问题，这是他们思维成熟的重要特征.为了让学生能够更加高效地研究和探索数学问题，让他们的创新思维和相关意识得到发展，高中数学教师要在教学过程中积极培养学生的逆向思维.

一、逆向思维在数学学习中的运用

在研究数学问题时，如果思路陷入一个死胡同，我们一般会提醒学生不要纠结于一个无法突破的关卡，这时要积极转变思路，采用逆向思维通过迂回的手段来研究和探索，进而理解原本深奥的数学内容，完成学习难点的突破.

1.对问题展开逆向分析

在指导学生研究高中数学问题时，我们非常关注学生的探索方法及他们的思维活动，而逆向思维对学生的问题分析和探索有着非常重要的现实意义.采用逆向分析时，学生往往是在假定命题正确的大前提下，从结论出发来推导其成立的充要条件.比如，在处理证明题时，常规的方法是从题设的条件出发，结合已有的数学知识展开分析和推理，最终按照最基本的逻辑顺序来搭建由条件到结论的桥梁.但是情况也并非都是如此，在很多问题中，要么题设中的条件非常有限，要么有关条件隐蔽性较强，从而导致学生无法直接发现，这时我们就要引导学生从求证结论出发来展开自己的思维，从逆向推动的角度得出结论成立所需要的条件，然后再将这些条件与题设条件相互印证，进而推断出某些隐含条件或间接条件的存在.最后在处理问题时，学生反过来对条件进行重新梳理，完成对问题的解决.在高中数学教学中，逆向思维被广泛运用于几何教学和不等式证明的过程中.

2.对概念内容的深度理解

在指导学生研究高中数学的概念时，我们可以发现很多概念都是可以互逆转化的，这些概念的正序往往对应着概念基本内容的表述，逆序则对应着概念的性质.通过正序和逆序的交替理解，学生将对相关理论产生更加精准的把握和理解，从而深度发掘概念的内涵.

比如，有关“奇函数”概念的理解，其基本概念的关键词落在关于原点的对称性上，对这个概念进行逆向思维，我们可以认为如果一个函数是奇函数，那么它必然是关于原点对称的.通过这种逆向思维，学生对条件和结论进行着互换理解，这样有助于学生理解概念内部的逻辑关系，从而更加有效地实现掌握.

3.以逆向思维来攻克难点

在数学问题的研究过程中，解决的方法和途径有很多.比如，在教学过程中，我们经常遇到部分题目，如果是按照常规思路进行分析和理解，学生很难获得有效且便捷的途径，面对这种情形，教师要指导学生采用正难则反的思维方式，以逆向思维来展开探索，从问题侧面切入，或是从反面展开推理和验证，由此打破问题探索的僵局，这样即可让问题的解决更加高效.

比如，有这样一个问题：已知a、b均为正数，x、y∈R，而且a+b=1，求证ax2+by2≥（ax+by）2.学生在分析这个问题时，只看条件是无法解决问题的，只有在问题分析的过程中着眼于最后求证的结论，才能探明问题解决的思路.比如，可以将不等式的两边进行作差处理，并结合题设条件，可得ax2+by2-（ax+by）2=ab（x-y）2≥0，从而可以证得最后的结论.

二、高中数学课堂学生逆向思维的培养策略

在高中数学的教学过程中，任何一项能力的培养都需要讲究策略性，而针对学生逆向思维能力的培养，我们要从以下几个方面着手.

1.在概念教学过程中逆向思维的培养

高中数学每一个单元的学习都是从基本概念和性质着手的，数学概念是所有研究和探索的根基，是前人经过长期的研究和实践总结而来，是对客观规律概括性的总结.对学生的数学学习而言，概念阐明了数学内部逻辑与数量的关系，是学生建构知识网络的重要节点.在以往的概念教学过程中，很多教师都是照本宣科地对概念进行讲解和陈述，引导学生对此进行记忆和理解，再通过习题来引导学生进行巩固和强化，这样的操作比较僵化和呆板.学生的思维灵活性很难得到发展，而且他们也无法对概念形成深度的认识.所以，我们在教学中应该积极变更思路，结合教学内容来指导学生采用逆向思维的方法来展开理解，指导学生发掘潜在的性质和规律，从而让他们更加深刻地理解概念的内涵和本质.

比如，在等比数列的概念教学过程中，教师可以对学生进行这样的引导：如果存在一个等比数列，结合概念进行逆向思维，我们可以知道这个数列有何特点？学生变换思维方向，提出自己关于等比数列的认识：等比数列的后项与前项之比为定值；等比数列的各项不能为0；等比数列的公比不等于0等.学生所提到的上述结论，第一个属于比较直接的逆向结论，后面的几个都有较为明显的发散属性.虽然这些内容随着学习的深入将成为事实，而且也很少在问题处理过程中被使用到，但是我们以概念研究为载体，让学生采用逆向思维来展开分析，对学生的思维发展是有利的.

2.在习题教学过程中逆向思维的培养

习题教学是高中数学一种较为基本的手段，在问题分析过程中，学生发现对某些公式稍加变形，或是逆向使用，即可让问题的解决更加方便，这其实也正是逆向思维在解题过程中的运用.在教学实践中，教师要为学生呈现此类问题，引导学生以逆向思维的方式来研究问题，由此让学生感受此种思维方式的便捷之处.如此，学生的相关能力也将因此而提升.

比如，在指导学生研究等差数列时，学生都能熟练掌握其前n项的求和公式于这样一个结论，教师也要引导学生由此出发对其进行变形处理，比如，学生在研究中得到公式.学生展开分析，认为这时可以将Sn视为一个二次函数，其常数项等于0，而且还可以通过待定系数法来完成某些问题的求解，只需要预先知道的取值.对于学生所形成的结论，教师则辅以习题，让学生进行练习，学生将因此体会到逆向思维在问题处理中的妙用.

3.在纠错过程中逆向思维的培养

纠错工作是学生高中数学学习过程中的一项非常重要的学习过程.面对自己的错误，学生要积极采用逆向思维来理解和分析出现错误的节点，以此来实现纠正错误、巩固认识的效果.

容易忽略对函数定义域的考虑，他们习惯于用均值不等式来考虑问题.比如，当x＞0时，上述不等式在x=1时可取最小值2，且没有最大值，但是如果x的取值范围存在限制，结论可能就有所变化了，比如，当x∈［2，3］时，如果还是照搬之前的结论，答案必然是错误的.那么错误出现在哪里，为什么出错，应怎样进行分析和处理，这些都是学生在纠错过程中要采用逆向思维进行反复推敲的地方.学生只有在这些地方狠下功夫，他们的认识和理解才能得到较为显著的提升.

三、教学之余的些许思考

在高中数学的教学过程中，我们发现逆向思维对学生理解数学知识、处理数学问题有着非常重要的作用，因此在教学过程中教师要关注学生这一方面能力的培养.同时我们也应该意识到，这种思维不应该局限于学生在数学学习的过程中进行使用，我们在生活中也有着非常广泛的运用，甚至在某些关键时候所起到的作用让人拍案叫绝.

逆向思维最经典的案例应该是“司马光砸缸”的故事，小孩落在水缸里，大多数人想到是拉人，只有司马光急中生智，反其道行之，将研究对象放在水上，将水放走也同样达到了救人的目的.我们在数学教学的闲暇之余，和学生围绕数学思维方法进行交流时，引用这些故事，让学生展开分析和研究，从中体会思维的力量.这样的处理一方面可以缓解学生数学学习时紧绷的神经，同时学生也将对逆向思维产生更加深刻的认识，并主动在问题研究和生活实践中运用和体会逆向思维.