数学学习中的迁移现象及其对教学的意义*

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(首都师范大学,北京 100037)

●姜秋羽

(辽宁省实验中学阳光小学,辽宁 沈阳 110148)

1 学习迁移现象

学生在学习过程中，需要掌握多种学科的知识、技能与方法，而各个学科知识之间、学科知识内部成分之间都存在或多或少的联系，因此在学习过程中存在某种程度上的相互影响的现象，即学习迁移现象.所谓学习迁移现象可以科学地解释为学习者在学习过程中的先行学习与后继学习之间的相互影响，具体包括先行获得的知识经验、动作技能、学习方法与新知识、新技能、新方法的学习之间的互相影响.

2 数学学习迁移现象的理论基础

学习迁移现象在结合数学学科特点之后，就形成了独特的数学学习迁移现象.数学学习迁移现象在本文中可以定义为在数学学习过程中，学生先后学习的数学知识、逻辑思维、解题技能、学习态度、思考方法之间相互影响、相互制约.继学习迁移理论提出后，随着研究的不断深入，不同的心理学家针对不同的观点进行了全面深入的探究，最终提出以下5个理论：

2.1 形式训练理论

该理论重视训练形式而轻视学习内容，认为学习迁移是无条件的、自发产生的，在数学学习过程中，将概念方法作为训练解题的材料，学习理解知识概念远不如通过题海战术训练解题能力来得重要.这种理论缺乏足够的科学依据.

2.2 共同要素理论

该理论否定学习迁移是无条件自发产生的，认为产生学习迁移的原因是两种学习具有共同要素，数学学习过程中的迁移现象可以被简单的定义为以数学知识之间共同要素为纽带进行的学习迁移，而忽视了学习者数学学习方式、逻辑思维等认知结构的迁移.这种理论是片面总结学习迁移理论的观点.

2.3 概括化理论

该理论在共同要素理论的基础上强调学习者经验的类化，认为学习迁移产生的必要条件是两种学习存在相同要素，关键因素是学习者能准确地概括出两种学习之间的共同原理，该理论对学习者的发现能力和概括能力有一定要求.

2.4 关系转换理论

该理论认为学习迁移产生的条件是学习者对两种学习之间关系的理解和掌握，数学学习迁移最重要的是取决于学习者能否理解各个学习过程之间形成的整体关系、能否理解所学习的数学原理与实际事物之间的关系，即对一切数学知识、数学情景的理解能力越强、顿悟能力越高、概括能力越全面，发生数学学习迁移现象的概率就越大.

2.5 认知结构理论

该理论认为学习者原有认知结构是学习迁移现象产生的因素，一切有意义的数学学习都是在学习者原有数学认知结构的基础上进行的.所谓数学认知结构即学习者头脑中对概念知识、解题技能、学习态度等全部观念的组织结构，是在数学学习过程中影响迁移效果的重要原因.

3 数学学习中的迁移现象

数学学习迁移现象根据不同的标准可以划分为不同的类型，本文结合数学学科自身的特点，大致概括为以下5类：

3.1 正迁移、负迁移和零迁移

数学学习过程中不同的学习阶段具有不同的学习目标、学习重点和学习特征.后一阶段的学习往往是建立在前一阶段学习的基础上的，会受到来自前一阶段学习的知识、技能、方法的影响，同样后一阶段的学习会对前一阶段的学习产生一定的影响.这些影响可能是积极的，称为正向迁移即正迁移；也可能是消极的，称为负向迁移即负迁移.

正迁移即先行获得的知识、技能、方法对新知识、技能、方法的学习起到促进的影响.学生在学习新知识时可以利用已有的知识水平、技能方法加快其掌握速度、加深其理解程度、增强其运用熟练度.例如，以三角形的内角和知识为基础，通过组织学生观察、类比、推理得到多边形内角和的公式；依据点到直线的位置关系公式可以类比判断直线与圆的位置关系.

与此相反，负迁移即先行获得的知识、技能、方法对后继学习造成干扰，影响学生对新知识的理解.比如，小学生在学习除尽的问题时就会受到整除知识的干扰，将两者混为一谈；初中生在利用平方差公式处理习题时，往往会忽略公式的逆用，将题目复杂化；高中生在类比方程的实数根学习函数零点存在定理时经常混淆两者的差别，造成错误的结果.

如果两个学习阶段没有对彼此造成影响，也就没有发生迁移现象，我们则称这种情况为零迁移.因此根据基础教育课程改革标准，教育工作者要努力激发正迁移的产生，阻碍负迁移的干扰，促进零迁移和负迁移转化为正迁移.

3.2 水平迁移和垂直迁移

数学课程是一门博大精深的学科，包含很多错综复杂、琐碎的知识内容，同时该学科本身就具有理解的抽象性、思维的逻辑性、应用的广泛性等特点.因此，学习者对已学的知识概念、方法技能等内容的概括水平对后续新知识的学习效果会产生一定的影响.这些影响可能是同一概括水平的影响，称为水平迁移或横向迁移；也可能是不同概括水平的影响，称为垂直迁移即纵向迁移.

水平迁移又称横向迁移，即学习内容之间内容难度、抽象程度、思维方法、逻辑关系等都是在同一水平上并列存在的，这些知识概念之间相互影响，从而降低学习者对同一概括水平的学习内容的学习难度.例如，根据长方形的面积公式类比推导得出平行四边形的面积公式；根据椭圆的定义及方程帮助理解双曲线的定义及方程.

与此相对应，垂直迁移又称纵向迁移，即在抽象性、概括性、逻辑关系等学习起来具有较大难度的内容之间的相互影响.这种影响可表现为难度较高的影响难度较低的，即自上而下的迁移；或者是难度较低的影响难度较高的，即自下而上的迁移.比如任意角和平角、周角等概念的学习；长方体、圆柱体等几何概念和空间几何体概念之间的相互影响.

在教育教学工作中，教师要区分水平迁移和垂直迁移，合理地安排知识结构，并利用学习迁移更好地完成教学任务，从而帮助学生更好地掌握数学知识.

3.3 一般迁移和具体迁移

数学课程作为一门工具类型的学科，无论在日常生活中还是学术研究中都是必不可少的.针对数学课程中不同的学习单元、学习内容、学习阶段，学习者都会收获不同的知识技能、思维方法、科学态度，并把这些收获迁移应用到今后的学习中.根据学习者迁移应用到的不同范围以及范围的大小，我们将其分为一般迁移和具体迁移.

一般迁移又称非特殊迁移或普遍迁移，即将在数学学习过程中获得的知识技能、思维方法、学习态度应用到今后学习的各个领域，迁移的范围十分广泛，有利于促进学习者的全面发展.例如，数学微积分的学习应用到物理中解决计算问题；计算机程序员将数学学习的逻辑思维能力应用于编写程序的过程中.

具体迁移又称特殊迁移，即将学习者在具体学习某些数学问题时获得的某种具体的、特殊的、针对性较强的经验方法经过整合加工迁移到类似的学习情境中，帮助学习者更迅速地掌握类似的知识概念.比如，在学习反证法后，针对题目条件不足或无从下手的情境，学习者可以结合题目自身特点，利用反证法来证明.

因此，在进行教育教学研究时，针对不同的学习内容，教师可对学生进行正确的迁移引导，使学习迁移在学习者的学习过程中起到积极的促进作用.

3.4 顺向迁移和逆向迁移

数学课程知识体系繁杂冗乱，需要日积月累才能真正掌握知识体系与结构.因此学习数学知识是一个由浅入深、由易到难、由简到繁的过程.学习者已有的知识经验、解题技能、逻辑思维与新知识、新技能、新方法之间存在相互影响的现象.根据学习迁移影响的方向来区分，可分为顺向迁移和逆向迁移.顺向迁移即先行学习对后继学习的影响，学习者将已有的知识技能、经验方法作为基础来学习新的知识经验，加快学习速度、理解程度，更好地掌握新知识.比如，“子曰：举一隅不以三隅反，则不复也”就是顺向迁移的最好例子.与此相反，逆向迁移即后继学习的知识经验、方法技能可以使原有的知识结构、经验方法得到巩固、修正、重组整合，使学习者更加系统地掌握数学知识体系、认知结构，对所学知识有更加深刻的理解.例如，初中课程的负数知识补充了小学课程中整数知识体系的不足；指数函数、幂函数等函数的学习使学习者对初等函数体系有了更深刻的认知.

3.5 知识概念迁移和思维方法迁移

数学课程作为一门基础性工具学科，在其他学科中也有着广泛的用途.因此，数学教学过程不仅要注重知识概念体系的掌握还要关注逻辑思维能力的培养.根据学习者迁移内容的不同，将学习迁移分为知识概念迁移和思维方法迁移.

知识概念迁移，即学习者利用已知的知识概念去理解类似的未知概念、简化未知概念的学习过程，从而对新概念的理解更加深刻、更加彻底.例如，三角形的概念对直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等特殊三角形概念的迁移；数列的概念对等差数列、等比数列等特殊数列的影响.

与此对应，思维方法迁移即是学习者将数学学习过程中训练形成的逻辑思维能力、数学思想方法应用到其他学科或日常生活中，用数学的眼光去看待世界，用数学的方法去研究世界.比如，利用微积分学去研究物理问题；利用线性规划知识解决产品收入最大化问题.

4 数学学习中的迁移现象对教学的意义

学习迁移现象的实质就是学习者对先后所学知识的概括总结，也就是我们通常所说的闻一知十、融会贯通.凡是学习过程几乎都会发生学习迁移现象，因此从事教育工作的学者们都应该将教育视为“为迁移而教”，这样才能更好地完成教学任务，帮助学生系统地掌握科学文化知识，使学习者成为德、智、体、美全面发展的具有独立个性的社会主义建设者和接班人.因此，研究数学学习中的迁移现象及其规律对实现数学教学目标具有非常重要的现实意义.

4.1 已知导入新知，激发学习效率

一切有意义的学习都有迁移，数学学科尤其明显，数学知识的系统性、逻辑性、概括性决定了这一切，当代教育心理学家研究指出：每一种新知识的学习无不是旧知识向新知识的迁移过程，各种知识对人的大脑皮层的刺激与反应的影响相似因素越多，越容易引起迁移[1].因此，教育者在教学工作中，要加强学习者对已学知识的掌握程度，并合理安排课程结构，引导学生充分利用已有的知识技能去研究和掌握类似内容的知识，利用已知探究未知.

例如，在讲椭圆的定义及方程时，教师往往利用圆的定义与方程来进行类比教学，这样既可以激发学生的学习兴趣，又可以将课程讲解得更为透彻，同时利用数学学习中的学习迁移无形之中降低了学生学习的难度，丰富了学生的知识体系，让学生充分感受到知识产生的过程，从而促进正迁移、顺向迁移的发生，最大限度地提高了课堂教学效率.

数学学习过程犹如一项浩大繁琐的建筑工程，需要时刻考虑它的整体性.数学课程的分支课程有很多，初等教育涉及代数、几何、分析、概率、统计等，高等教育又将其分门细化包括分析学、高等代数、高等几何、微分方程、拓扑学、泛函分析等等，这众多的分支紧密相联、互相衔接构成逻辑缜密、概括性强的数学学科体系.这就需要学习者在学习新知识后对已有知识做到温故知新、及时巩固，将新学习的知识技能、思想方法、逻辑思维与已经学习的内容联系起来，这样既可以将新的知识整合归纳到已有的数学认知体系中，又可以对先行学习的知识内容起到促进作用，利用新知巩固旧知，完善学习者的数学认知结构，有助于提高学习者的思维灵活程度和扩大迁移能力的应用范围.

4.2 加强双基训练，创造联想条件

在数学学习中，基础知识的掌握和基本技能的训练是思维联想的基石，也是数学解题的重要条件[2].基础知识和基本技能的迁移对学习者的学习效率、解题速度、理解能力都有促进作用.依据已经形成的逻辑思维，学生在解题时会迅速联想到与题目有关的基础知识和基本技能，从而加速对问题的解决.

例如在处理方程32x-3x+1-4=0时，学生会很快联想到指数函数、对数函数的运算性质以及一元二次方程的解题方法，从而快速得出结果.因此在数学学习中，应当强调基础知识的掌握和基本技能的训练，即要理解抽象程度强的、概括水平高的数学基本概念、公式、法则、原理等以及把握相应内容所表现的数学思想方法，并通过基础知识强化基础技能.在数学课堂上重视双基并反复强化，为思维联想创造条件，提高学生的联想能力.以联想思维为纽带，利用基础知识、基本技能的迁移提高学生的学习效率和解题能力.

4.3 完善认知结构，提高学习质量

奥苏泊尔认为，学生的原有认知结构是实现迁移的“最关键因素”[3].建立良好的认知结构是实现知识迁移的关键.在数学教学中，教师要紧密结合最近发展区理念，按照学生现有的思维发展和认知水平进行教学，以旧知识引入新知识，引导学生在分析新知识时要时刻联想相应的旧知识，在学生已有的认知结构中实现对知识的理解与内化，赋予该知识点更多的信息，使它与其他知识建立外显或内隐的联系，从而完善学生的认知结构[2]，从而帮助学生准确深入地理解数学概念、原理、公式、法则，理清其内在逻辑顺序，找到知识间的内在联系，有效地分析并解决数学问题，提高数学学习的质量.

4.4 改变学习方式，实现有意义学习

简单来说，数学学习中迁移现象的实质就是概括，越具有概括性的知识其迁移的范围越广.正如布鲁纳所指出的一样，概括性在数学思维中有着重要的作用.在数学学习中，重视基本概念、基本原理的理解，重视数学方法的掌握，其意义就在于对这些知识的概括水平越高，就越容易实现广泛的、效果良好的迁移[4].许多研究表明，影响学生学习迁移效果的困难不是来自学习本身，而是由于学生缺乏对问题间共同原理的概括意识和概括能力.为解决此类问题，教育工作者要倡导“主动”的学习方式，实现有意义的学习，改变学生的“接受式学习方式”，将其转变为“主动参与学习和意义建构”.

例如，针对课外作业中的难题、错题、一题多解等进行研究，组织学生进行分组讨论，充分调动学生的学习积极性和创造力，完善思维，开阔视野，提升概括能力，完成知识间的互相迁移，从而提高迁移效率，改善学习质量.

古人云：“授人以鱼，不如授人以渔”.一名从事数学教育的工作者，有义务在教学过程中熟练掌握学习迁移规律，主动利用学习迁移现象，提高课堂教学效率，培养学生的学习迁移能力，引导学生掌握正确的学习方法，帮助学生构建数学知识体系、形成逻辑认知结构.“数学王子”高斯曾说“给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断地学习；不是已有的东西,而是不断地获取；不是已达到的高度,而是不断地攀登.”徜徉在数学知识的海洋里，追求理想的彼岸，是每位数学学习者共同的追求.数学教师是教学活动中的指导者，要时刻牢记“为迁移而教”的活动主题,指导学生“为迁移而学”的活动目的，丰富数学课堂内容，激发学生学习数学的积极情感，多进行有意义的数学学习与探索研究.

学习迁移现象只是数学学习过程中的影响因素之一.要想提高学生的数学水平，教师还要结合学习的内部原因、情境条件等因素，合理地运用数学教学规律，这样才能获得理想的教学效果.