“角”的设计思想及点评

（江苏省南通市教育科学研究院）

执教教师借班上课，学生来自桂林市奎光学校，使用的教材是湘教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“湘教版教材”）七年级上册，执教的“角”是教材第四章的教学内容，分两课时：第1课时为角与角的大小比较，第2课时为角的度量和计算.主要涉及角的概念，角的表示方法，角的大小比较，角平分线，度、分、秒单位及换算，角的计算，余角与补角等.执教教师进行的是“角”（第1课时）的教学.

本课的教学不仅要让学生习得角的知识，更在于使学生通过对角的学习，获得学习几何知识的基本方法和基本套路，提高几何思维的能力.执教教师的教学力求体现李庾南创立的“自学、议论、引导”教学法的核心理念：以学生为主体，在师生合作中学会学习，学会自主发展.从教学设计到具体的教学实施，充分体现学材再建构、学法三结合、学程重生成的“三学”原则.现从以下三个方面阐述本节课的设计思想，并对本课进行点评.

一、基于学情，唤醒原有认知，促进螺旋上升

角是重要而基本的几何图形，有关角的概念、画法、表示、比较大小、计算等，都是重要的几何基础知识，也是学习后续几何知识和其他数学知识的必备基础.

对于角，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）分三个学段提出了具体的要求，第一学段（1～3年级）：结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角；第二学段（4～6年级）：知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系；第三学段（7～9年级）：理解角的概念，能比较角的大小.认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差.

根据《标准》三个学段对角的要求，人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“人教版教材”）二年级上册，以及四年级上册分别安排了相关的学习内容（桂林市小学数学使用人教版教材）.

在本节课中，执教教师没有用生活中角的形象揭示角，以及让学生举生活中的角的例子的原因有二：一是学生在小学已经经历过这个过程了，重复没有价值；二是鉴于数学不仅源自生活，而且来源于数学本身，初中阶段对于角的学习完全可以直接从数学本身切入.

根据以上学情，执教教师在教学“角”这节课时，直接提问“你知道角是怎样组成的吗？”“接下来要研究的有关角的内容，哪些是在小学已经学习过的？先独立思考，再小组交流.”“小学已经学过哪些角的表示方法？还有哪些新的表示方法？”唤起学生对角相关知识的记忆.虽然学生在小学阶段接触过角，但是认识是很粗浅的（由两条射线组成的图形），仅停留在感性层面上.要想使学生对角的描述提升到理性认知层面，还需要一个过程.

用旋转的方式描述角，对角的认识和理解从静态到动态是一次思维上质的飞跃，也是本课的难点.为了突破这个难点，使学生认识到角不仅是有公共端点的两条射线，还应该注意两条射线所夹的区域，注意两条射线的相对位置关系（始边、终边），执教教师设计了一系列的提问（前文中的问题5及其追问1，2，3）.从而帮助学生更好地从旋转的角度理解小学曾经学习过的平角、周角的概念，为以后对角的概念的推广埋下伏笔（高中阶段推广到任意角），实现了对角相关知识认识上的螺旋上升.

二、整合内容，践行单元教学，扩展学习的时间与空间

所谓单元教学，即根据数学知识发生的规律及其内在联系、学生学习的基础与可达到的高度，以及思维发展能力，将学材分为单元或知识模块，分课时实施，从整体上达成教学要求，优化思维品质，习得学习方法，陶冶生命情操.

遵照教材有关角的学习内容的先后顺序，须先学习角与角的大小比较.再学习角的度量和计算.考虑到学生的小学知识基础和刚刚完成线段的学习，执教教师在参考人教版教材七年级和湘教版教材七年级的基础上，对教学内容进行了重新加工，即进行了学材再建构.类比线段的教学过程，将角的概念（静态和动态的发生定义）、角的表示方法、角的大小比较、角的和差（角平分线）作为第1课时（单元）的教学内容，而把具体角度的计算，度、分、秒的换算，余角、补角等相关知识作为第2课时（单元）的学习内容，变照本宣科为从学生实际出发重组教学内容.实行单元再建构后，更好地展现相对比较完整的角的知识结构，从而使角与线段的知识结构和学习研究方法类比更加直观、经济、有效.使貌似十分有限的教学资源得以激活、放大，扩展了学生的学习时间与空间，拓展了学生的活动范围，为课堂教学方式的改革提供了条件.

需要说明的是，整合学习内容，实行单元教学，必须遵循以下四条原则：（1）与学生的学习基础和自学能力同步；（2）与学生的知识体系、认知结构相匹配；（3）与学生思维能力和思维品质的提升相呼应；（4）与学生的学习兴趣和价值认同相吻合.

三、注重预设，善用类比迁移，追求学力提升

在学习角之前，学生已经学习了直线、射线、线段，经历了“实物和模型—几何图形—文字语言—符号表示”的转化过程.研究线段相关内容和角的相关内容的方法很相似，教学时把它们进行对比，效果会更好.为此，执教教师设计了提问（前文所述问题1、问题2，以及问题2的追问1、追问2）.

这里充分体现了“自学、议论、引导”教学法中个人学、小组学、全班学的学法三结合原则，以及学程重生成的原则.

在角的和与差、角平分线的意义和角的数量关系的教学中，执教教师引导学生充分发掘对角的已有认识，结合线段的研究方式，自主完善角的相关知识，建构完整的知识结构和研究方法体系.

李庾南认为，一切教学都是以学生学力的发展和提高为核心追求的.无论是当前所提倡的核心素养，还是关键能力，归根结底就是学力.《标准》明确指出，数学教学活动应注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.本节课中，执教教师带领学生回忆线段的学习内容，借此引出将要学习的角的知识走向与学习研究的基本套路，固化这种学习研究方法，不仅对学生当前的学习有促进作用，而且可以为学生积累更多的活动经验，从而对今后进行其他数学知识的学习与研究产生潜移默化的促进作用.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.