“合并同类项”教学设计

（东北师范大学附属中学）

一、内容与内容解析

1.内容

同类项的概念、合并同类项的法则.

2.内容解析

本节课是华东师大版《义务教育教科书·数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章第四节“整式的加减”的第1课时，是在学生已经经历了有理数及其运算、代数式的概念、整式的概念学习的基础上，进一步研究整式的加减运算的第一步.

整式的加减运算是数与代数领域中最基本的运算，它是学生今后学习整式乘除、因式分解、分式和根式运算、方程，以及函数等知识的重要基础，而同类项及合并同类项的法则是学习整式加减运算的基础.整式的运算与数的运算具有一致性，由于整式中的字母表示数，因此数的运算性质和运算律在式的运算中仍然成立.本节课由数的运算出发，通过类比研究，得出同类项的概念、合并同类项的法则，让学生体会数式通性，为后续数与式的学习打开思路，指明研究方法.由有背景的数字运算，到抽象掉背景的数字运算，再扩充到式的运算，这是代数发展的历程，本节课将引领学生经历这一历程.

本节课学生的学习重点为同类项概念及同类项法则.学习难点为感受数式通性及类比、抽象方法.

二、目标与目标解析

1.目标

（1）理解同类项的概念；

（2）掌握合并同类项的方法；

（3）经历通过抽象、类比数的运算探究合并同类项法则的过程，从中体会数式通性和类比的方法．

2.目标解析

同类项的概念是判断同类项的依据，所含字母相同，相同字母的指数也相同是同类项的本质特征.

达成目标（1）的标志是学生会用概念判断同类项，会在一个多项式中找到同类项.合并同类项的依据是分配律，合并是指将同类项的系数相加所得的结果作为结果项的系数，保持同类项的字母和字母的指数不变；达成目标（2）的标志是能准确合并同类项，能通过合并同类项进行多项式的化简.

目标（3）是本节课所蕴涵的数学思想方法.学生将经历由实物到数的抽象、由数的运算到整式加减的扩充过程，体会数与式的运算是统一的，其并不是孤立的.

三、教学问题诊断分析

由于七年级学生的抽象概括能力和知识迁移能力还有待提高，故在教学时会遇到以下问题.

问题1：由数到式的转换需要一个过程，学生往往会将之前数的知识与整式的知识孤立起来，不对二者进行类比.

问题2：不能真正理解数式通性的意义，不知道该怎么运用数式通性.

问题3：在判断同类项时，对“字母相同，但顺序不同”和“字母相同，但指数不同”的两类问题产生疑问.

在教学时，引导学生从最基本的数的运算开始分析，体会数的运算原理，从而类比到同类项的合并，体会数与式运算原理的一致性，便于学生进行数与式的类比，进而解决问题1和问题2.

在归纳得出同类项的概念后，引导学生运用概念辨析所给例子是否是同类项.由于字母表示数，字母与数字作用相同，字母可以像数一样参与运算，因此数的运算律对字母同样适用，引导学生使用结合律概念来辨析，进而解决问题3.

四、教学支持条件分析

本节课的授课对象是东北师范大学附属中学七年级的学生.在本节课教学之前，学生已经掌握了有理数的运算，了解了用字母表示数的意义，掌握了整式的概念.根据本节课的学习内容和授课对象的特点，课上将进行黑板和多媒体的结合使用，这样既能展示整个研究过程，将重点内容在黑板上突出、留存，又能有效节省课堂时间、提高课堂效率.

五、教学过程设计

1.由实物到数的抽象

问题1：1个苹果和1个梨，能相加吗？1个水果和1个水果呢？

师生活动：在学生发表看法后，教师进行总结：1个苹果和1个梨的物理属性不同，一个是苹果，一个是梨，所以不能合并相加；1个水果和1个水果的物理属性统一，所以可以合并相加.由此可以看出物理属性是否相同的重要性.

【设计意图】在实际问题中，不同类别的实物无法合并.此环节的设计意图在于让学生体会实物归类的前提为物理属性相同，为分析数量的运算做好铺垫.

师生活动：在学生充分发表看法后，教师进行总结：数量的本质应当是多与少，要衡量数量的多少需要一个公共单位作为桥梁，类似于问题1中的物理属性.整数运算时这个公共单位是1；进行的运算时，这个公共单位是运用分配律计算51×99-49×99时，公共单位是99.

【设计意图】真正的知识来源于感性的经验，是通过直观和抽象而得到的.此环节的设计意图在于让学生体会数的运算的基础是存在公共单位作为桥梁，这与实际问题是相通的，数量的运算抽象于实际生活，但是更具有普适性，这将为由数推广到整式做好铺垫.

问题3：有理数能够运算的基础是什么？

师生共同总结，得出数能够运算的基础是存在一个公共单位作为桥梁，不同的运算，选取的公共单位可能不同（以后可以扩充到复数，包括无理数的运算、虚数的运算）.

【设计意图】引导学生归纳思考的结果，让规律更加明晰.

2.由数到整式的扩充

问题4：用一个或几个字母替换下列算式中的数，构成新的算式，并将你认为可以合并的项合并.

51×99-49×99.

师生活动：学生到黑板上展示自己的成果，并阐述可以合并或不可以合并的理由，教师给予适当点评.

【设计意图】充分调动学生的主观能动性，让学生在尝试用不同字母替换数字的过程中体会哪些项可以合并，哪些项不可以合并，可以合并的基础是什么，初步体会同类项的特征.另外，这个探究还有验证合并是否正确的作用.

教师追问：抛开这个算式，你能再列举一些能够合并或者不能合并的单项式吗？

师生活动：学生继续举例，教师给予适当点评，并鼓励学生大胆提出设想，列举出更复杂的单项式，同时兼顾正例与反例.

【设计意图】鼓励学生大胆提出设想，让初步形成的同类项的特征更加清晰.

3.反复推敲，总结收获

问题5：整式中的项能够合并的条件是什么？

师生活动：学生充分发表看法后，教师进行归纳，并给出同类项的定义——所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，含几个常数项也是同类项.以及合并同类项的定义——把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

问题6：通过化简上述多项式，你能从中得出合并同类项的方法吗？

师生活动：师生共同总结，得出合并同类项法则——合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变.

【设计意图】通过对算理的理解、辨析，逐层归纳并总结同类项、合并同类项的定义，以及合并同类项的法则.

4.学以致用，应用新知

练习1：判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”.

（1）3x与3xm是同类项； （ ）

（2）2ab与-ab是同类项； （ ）

（3）2yx2与3x2y是同类项； （ ）

（4）3ab2与3ab2c是同类项； （ ）

（5）32与23是同类项. （ ）

【设计意图】引导学生用概念辨析同类项，进一步巩固同类项的概念.

练习2：找出下列多项式中的同类项，并进行合并.

3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5.

【设计意图】让学生经历归纳、化简多项式的过程，并总结出易错点和解决办法.

练习3：合并下列各式中的同类项.

（2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2；

（3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2.

交流一下：你是怎么做到又快又准地合并同类项的？

师生活动：学生到黑板上展示自己的计算方法，教师给予适当点评，并鼓励学生大胆展示自己的方法.

【设计意图】进一步巩固合并同类项法则，让学生展示自己认为好的计算方法，以便相互取长补短，同时也让进行展示的学生体会到成就感.

5.课堂总结

问题7：总结一下，本节课你学到了哪些知识，运用了哪些方法？

师生活动：师生共同总结，得出本节课所学知识点和研究方法，得出实物的归类合并与数字运算是相通的，数字运算与整式的运算是相通的.数与式的运算是统一的.

【设计意图】引导学生从知识和方法两个角度总结所得.在梳理、强调本节所学知识的同时，也使学生感受抽象、类比的研究方法.

6.布置作业

教材第105页练习题第2题.

目标检测.

（1）下列各组中的两项，属于同类项的是（ ）.

（A）x2与x（B）-0.3xy与

（C）x2y与xy2（D）x与y

（2）若单项式-3am+1b2与单项式是同类项，则m=________，n=________.

【设计意图】第（1）（2）两题检测学生对同类项概念的理解与运用.

（3）下列运算中，正确的是（ ）.

（A）3a+2b=5ab（B）3a2b-3ba2=0

（C）2x3+3x2=5x5（D）5y2-4y2=1

（4）化简下列各式.

①-m+0.5m+1.5m；

②7a+3a2-2a-a2+3；

③3m2-2mn-n2+5mn；

④3x3-3x2-y2+5y+x2-5y+y2.

【设计意图】第（3）（4）两题检测学生对运用合并同类项化简多项式的掌握情况.

六、教学反思

公共单位、数与代数这一知识模块，是初中数学的基石，对高中数学也有一定的辐射作用.在教学过程中，笔者一直在思考数与式的运算在算理方面有哪些相通之处，后来笔者发现数与式运算的统一之处就在于它们都存在一个类似的桥梁，为了便于学生理解这一桥梁的存在，暂时称这一桥梁为公共单位，这并不是专有的数学名词.在准备这节课的时候，笔者特意请教了东北师范大学数学系博士生导师高夯教授，并得到了他的指点，公共单位这一概念就是他提出来的.从课堂反映来看，学生理解了它的存在，达到了预期的目的.

有理数运算的公共单位并不唯一，但是整式合并的公共单位是唯一的，二者类似，但又不完全一致.例如，这一运算的公共单位可以是也可以是的公共单位只能是ab.对于这一点，笔者在课上并没有让学生有足够的体会，这对于学生对同类项概念的建立可能会造成一定的障碍.

学生的探究活动进行得不充分，教师干预的痕迹明显.例如，让学生自由列举可以合并的单项式或不可以合并的单项式这一环节，学生举例并不充分，且没有让学生充分表达自己的看法，教师控制的痕迹明显.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］史宁中.数学思想概论（第1辑）：数量与数量关系的抽象［M］.长春：东北师范大学出版社，2008.