关于由均匀分布如何得到正态分布的研究实践

刘雨晴

【摘要】计算相互独立分布相同的分布相加后均值与方差的关系，借助查询得到的大数定理方法给出如何由均匀分布得出正态分布，最后借助Excel软件模拟验证结论.

【关键词】均匀分布；正态分布；大数定理；Excel模拟

最近学习了数学中的统计学的内容，一个美丽的分布吸引了我的注意力：正态分布.这个分布是对称的，在坐标系中画出了一道美丽的弧线，从左边的地平线，慢慢地爬到最高点，又缓缓地不甘地离我们而去，就像夕阳一样，挂念着他的大地，一直到右边的无限远处，直到看不到他的影子.

这个分布的函数看起来很复杂， f（x）=12πσexp-（x-μ）22σ2，但是看到这个函数的第一眼，就惊叹于这个函数的发现者的巧妙，这个函数可以精确的使全坐标下的积分为1，不多一丝不少一分，很是完美.就是这样一个美丽的分布，吸引了我很大的注意力.这个分布的存在对于数学究竟意味着什么，为什么这个分布这么重要，甚至被称为“常态分布”.

上课教师讲到，在现实生活中，遇到测量之类的时候，尤其产生大量的连续的数据，很多时候都是希望得到这种形态的分布.换句话说，正态分布是一种很标准的很基本的分布.

既然如此，一个其他的分布在数据很大时也有可能产生正态分布了吗？我带着这个疑问展开了自己的研究，进行了一些推导.

假设X，Y服从于0到1之间的均匀分布，且相互独立.它们的分布所对应的函数均为f（x）=1，0

f（x）=∫20pX（x0）pY（x-x0）dx0.

在00.当0

f（x）=∫101dx=x，0

发现，均值和方差均为单个分布的两倍.所以，我打算去尝试推导一下独立分布情况下的多个分布相加得到的均值与方差的关系.

均值（∑ni=1Xi）=∑ni=1均值（Xi）.

方差（X+Y）=方差（X）+方差（Y）+2×协方差（X，Y）=方差（X）+方差（Y）.当X与Y相互独立分布时，协方差为0.推广到n个独立分布相加时：

方差（∑ni=1Xi）=∑ni=1方差（Xi）+2×∑ni，j=1，i≠j协方差（Xi，Xj）=∑ni=1方差（Xi）.

根据均值和方差的性质：

均值（n×X）=n×均值（X）；方差（n×X）=n2×方差（X），若Xi是服从于0到1均匀分布的独立同分布，得

均值1n∑ni=1Xi=0.5，

方差1n∑ni=1Xi=1n2×方差（∑ni=1Xi）

=1n2×n×方差（X1）=112n.

虽然得到了多个均匀分布均值的均值和方差，但是不清楚他们所服从的分布是什么.这时候，我在网上查到了一个定理——大数定理：当n→∞时，方差→0，就可以使用大数定理，使得在n很大的时候，某测试结果可以依概率收敛.换句话说，当n很大时，0到1分布的多次试验均值收敛到0.5，这个实验均值服从于方差为112n，均值为0.5的正态分布，∑ni=1Xin～N0.5，112n，即12n∑ni=1Xi-n2～N（0，1）.这时，就可以用均匀分布来产生正态分布了.

在这里，我们借助Excel，产生一万次数据，每次产生一万个0到1之间均匀分布的数字，于是产生了一万个12n∑ni=1Xi-n2结果.然后我将这个结果从小到大排列，计算每一个小间隔的个数，之后除以每个间隔的平均个数得到分布函数，得到下图.

将这个图与真实的正态分布相比：

可以看出，模拟的效果很好，也证明了过程推理的正确性，完成由一个均匀分布得到一个正态分布的过程.这次实践加深了我对概率统计的理解，并且更进一步了解了正态分布对于整个概率分布、数学界的作用，这个分布是所有不确定事件的一个基础，只有掌握了这些知识，才能更好地进行下一步学习.

这也让我知道了实践的重要性，只有亲手去做一下，才能真正发现这其中的奥秘.

【参考文献】

[1]苏岩.正态分布与统计应用[J].保定师范专科学校学报，2003（4）：5-8.

[2]李瑞阁，黄尧.服从均匀分布的多个独立随机变量和的密度函数公式[J].南阳师范学院学报，2007（3）：18-20.

[3]路庆华.几个著名大数定律的证明及应用[J].石家庄职业技术学院学报，2007（4）：4-5.

[4]地文.数理统计在化探中的应用简介（二）[J].地质与勘探，1973（3）：25-27.

[5]邹来智，史延龄.EXCEL演示大数定律[J].信息与电脑（理論版），2010（1）：123+126.