用作图的方法解决一类几何最值问题

肖俊云+段其中

在初中数学知识体系中，作图是一个重要内容；在学生必备的各项能力里，作图能力占一席之地.初中生要求掌握五种基本作图，用集合的观点描述角平分线、线段的垂直平分线、圆，用交轨法作图.

近几年来加大了对作图能力的考查力度，除了考尺规作图大题，还考与作图联系紧密的小题.有一类几何最值考题，因为学生不会画出符合题意的图形，导致思路产生很困难.现从近几年中考试题中选摘几道与最值相关题目，谈谈解法体会.

1.（2017·安徽）如图1所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3.动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）.

分析 由S△PAB=13S矩形ABCD可得点P到AB距离为2，故点P在到AB距离为2的直线上.再由直线上一点到直线同侧两点距离之和最小的基本图形做出点P，可以计算出最小值.

解 设点P到AB距离为h，作EF∥AB，EF到AB距离为2.

∵S△PAB=13S矩形ABCD12·AB·h=13·AB·AD，

∴12·h=13·3，∴h=2，

∴点P在到AB距离为2的直线EF上.

作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，交EF于P，此时PA+PB最小.（如图1所示）

∵A，A′关于EF对称，∴PA=PA′，

PA+PB=PA′+PB=A′B，AA′=2×2=4.

在Rt△A′AB中，A′B=AA′2+AB2=42+52=41，

∴PA+PB的最小值为41.故选D.

2.（2017·怀化）如图2所示，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为cm.

分析 若B为顶角顶点，则P在以B为圆心、BC为半径、120°的弧上（不包括C点），但P，A两点不重合，故不存在PA的最短距离；若C为顶角顶点，则P在以C为圆心、CB为半径、60°的弧上，连接AC交弧于P，可确定AP位置；若P为顶角顶点，则P在线段BC的垂直平分线上，恰与点D重合.

解 若B为顶角顶点，因P，A两点不重合，不存在P，A的最短距离.若C为顶角顶点，则P在以C为圆心、CB为半径、60°的弧上，连接AC交弧于P，过A作AF⊥BC于F.

在Rt△AFB中，sin60°=AFAB，∴AF=10×32=53，

在Rt△AFC中，∠ACF=12×60°=30°，

∴AC=2AF=103，

∴AP=AC-PC=103-10.

若P为顶角顶点，则P在线段BC的垂直平分線ED上（垂直平分线经过D点），此时AD⊥DE，

∵垂线段最短，P，D两点重合，

∴AP=AD=10.（如图2所示）

∵103-10<10，

∴P，A两点间的最短距离为（103-10） cm.

小结：这类几何最值问题常与运动变化、图形变换联系紧密，对作图能力要求较高，需要用相似、三角函数、勾股定理等知识运算，是综合性较强的好题.

体会与启示：数学课程标准对学生提出的培养目标：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，这类中考试题是对“四基”的一种实战检验，考查学生分析思考能力和创新意识.要求学生理解题意—实验操作—探索规律—准确作图—建立模型—计算求解，能否做出符合题意的数学图形是其中关键.将某些数学问题归结为作图问题，通过“先定位后定量”来处理，可以获得解题捷径.不仅可用作图的方法解决这一类几何最值问题，而且可以解决一些中考压轴题.endprint