三角函数最值问题的思考

许文捷

摘 要：三角函数是高中数学的重点和难点部分，三角函数的最值问题更是高考考查的热点问题。基于此，笔者从三角函数的概念入手，分析了三角函数最值问题的解决方法，在具体例题的基础上，介绍了利用三角函数单调性、三角函数的性质、均值定理以及数形结合思想解决最值问题的方法，希望通过此次研究提升三角函数最值问题的解题能力并为其他学生提供借鉴。

关键词：三角函数；均值定理；数形结合

三角函数的最值问题是综合性较强的题目，是对我们关于三角函数概念、图形、性质以及相关公式等内容的全方位考察，更会凸显出数学中的函数思想。三角函数最值问题在高考中出现的概率也比较高，我们需要认识到三角函数的重要性，积极突破三角函数学习的难点，从而在高考中取得较好的数学成绩。

一、三角函数的概念

三角函数是数学教学中的重点内容，由于三角函数中涉及的知识点较多，因此许多学生在进行三角函数学习的过程中耗费了大量的时间，是我们学习过程中的学习难点。三角函数要求我们具有较强的逻辑思维能力以及知识的灵活应用能力，因此在考试过程中，三角函数成为考试的重点考察内容。另外，三角函数表达的意义较为抽象，因此学生在学习过程中常常因为没有对题目进行深入理解导致最终的学习质量下降，针对这种情况，我们应在平时的学习过程中注意总结方法，在扎实掌握基础知识的同时，在教师引导下积极进行有针对性的做题训练。在此过程中，不断加深对三角函数相关知识的认识，培养三角函数学习自信心。通过采用有效的训练方法，逐步提高三角函数最值问题的解题能力[1]。

二、三角函数最值问题的解决方法

（一）利用三角函数的单调性解决最值问题

在利用单调性解决最值问题的过程中，主要通过以下两种方式进行：第一种为利用二次函数的性质求最值，二次函数是学生学习数学阶段的重点内容，二次函数图形中具有明显的数值变化，同时二次函数具有最大值、最小值以及明显的单调性，加上二次函数的难度较小，所以我们可以利用二次函数解决三角函数中的最值问题。例如：函数中含有两个变量，在解决实际问题的过程中，为了保证二次函数的应用质量，需要将其中的变量进行消除，使其成为一个变量，最终以一元方程的形式呈现出来。

第二种为利用导数进行求解，导数是人们研究三角函数中的一项重要工具，导数能够利用其特殊性质将函数的单调性以及变化规律显示出来，在解决三角函数最值问题的过程中具有较高的应用价值。在应用导数解决三角函数最值问题的过程中，首先要将题目中具有价值的信息提取出来，找到其相对应的知识点。其次，利用导数的性质确定三角函数的单调性，并将题目中的数值进行带入。最后，根据三角函数单调性的分析结果对三角函数中的最值判断以及计算[2]。

（二）利用三角函数的性质解决最值问题

对三角函数的性质进行应用能够对三角函数的最值问题进行有效解决，例如：正弦函数是函数教学中的重点内容，正弦函数具有一定的界限性以及明显的单调性，能够对三角函数中的数值进行明确的区域划分，降低三角函数最值问题的解决难度。例如：在应用正弦函数解决问题的过程中，由于正弦函数具有一定的界限性，所以函数中的变量必须要在正弦函数变量的范围之内，利用sin2α+cos2α=1这一规律解决三角函数的最值问题。在选择正弦函数解决问题的过程中，必须注意以下问题，第一、将原变量向三角函数进行转化；第二、对三角函数进行整理和变形；第三、利用正弦函数的性质求出最值的数值。

（三）利用均值定理解决最值问题

均值定理能够通过建立积与和之间不等关系的方式解决三角函数的最值问题，其中“和定求积”以及“积定求和”是其主要的应用原理，由此可以看出均值定理的实际应用价值。在利用均值定理解决问题的过程中需要注意以下问题：第一、三角函数中的变量必须为正数；第二、三角函数各个变量之间必须要满足一定的定量关系，在实际应用过程中必须要满足以上两个条件才能应用均值定理解决问题。如果在实际计算过程中忽略了以上两点，不仅会增加解题难度，同时还会影响最终的解题质量。

（四）利用数形结合解决最值问题

作为高中数学的重点和难点内容，数形结合主要是利用“以形助数”的思想，应用数学图形的直观性解决抽象的数学问题。应用数形结合思想解决三角函数最值问题，可以根据目标函数具备的几何意义，使三角函数更为具体化与直观化，从而使我们更为简单地找到三角函数最值。比如下面一道例题：求y=的最大值和最小值。y=可以看做是定点（2，2）和動点（sinx，cosx）连线的斜率，已知动点（sinx，cosx）在单位圆sinn2α+cos2α=1上，所以可将三角函数最值问题转变为定点（2，2）和单位圆上某点之间连线斜率的最值问题。根据数形结合思想可知，直线和圆相切的时候即可得出最值。所以，三角函数y=的最大值ymax=；最小值ymin=。由此可以看出，在解答三角函数最值问题的时候，我们可以根据函数的特点，将函数问题转变为图形问题，通过图形的几何意义解答最值问题。

综上所述，三角函数的最值问题综合性较强，对我们逻辑思维能力和知识应用能力提出了一定的要求。通过对三角函数最值问题的分析可知，我们在解答三角函数最值问题时，要熟练运用各种解题方法，全面地掌握各种解题方法的适用性和使用条件，从而提高三角函数最值问题解题效率和准确率，提高数学学习成绩。本文的探究仍旧存在不足之处，仅供参考。

参考文献：

[1]曹广明，刘成.三角函数中的最值问题求解[J].中学数学月刊，2017（11）：48-50.

[2]杨竣皓.求解三角函数最值问题的常见方法[J].语数外学习（高中版中旬），2017（03）：42.endprint