关于一道一维波动方程定解问题求解方法总结

摘 要： 本文用两种方法求解出了数学物理方程中一道常见的一维波动方程的定解问题的解。方法一用高等数学中的求偏导数的链式法则以及不定积分知识；方法二则需要Fourier变换以及逆变换和广义函数的相关知识。

关键词： 数学物理方程；波动方程；傅里叶变换；广义函数

本文总结出数学物理方程中一道求一维波动方程定解问题解的两种解题思路和方法，以供参考。题目：求解定解问题

2u t2 = 2u x2 ， -∞0 u t=0=cosx， u t t=0=sinx， -∞

首先，需要以下引理。

引理1 若f（x）在（-∞，∞）上满足下列条件：①f（x）在任一有限区间上满足Dirichlet条件；②f（x）在无限区间上（-∞，∞）上绝对可积，则有

F[f（x）]=f ∧ （λ）=∫∞-∞f（x）e-iλxdx （3）

f（x）= 1 2π ∫∞-∞f ∧ （x）eiλxdλ （4）

称（3）右端的积分运算叫做f（x）的Fourier变换，（4）右端的积分运算叫做f ∧ （x）的Fourier逆变换。

引理2 （δ函数的筛选性质）若f（x）为无穷次可微的函数，则有

∫∞-∞δ（x）f（x）dx=f（0）

這道题的两种解法

解法一：第一步：求一维齐次波动方程（1）的通解。

令ξ=x+t，η=x-t，由链式法则得

u x = u ξ u x + u η u x = u ξ + u η

2u x2 = 2u ξ2 +2 2u ξη + 2u η2 （5）

同理有

2u t2 = 2u ξ2 -2 2u ξη + 2u η2 （6）

将（5）和（6）代入（1）得

2u ξη =0 （7）

将（7）对ξ积分（固定η）得

u η =f（η），f（η）是η的任意可微函数

再将上式对η积分（固定ξ）得一维波动方程的通解

u（x，t）=∫f（η）dξ+G（ξ）=F（x-t）+G（x+t） （8）

其中F，G是任意函数。

第二步：代初值

将初值（2）代入通解（8）中得

F（x）+G（x）=cosx （9）

-F′（x）+G′（x）=sinx （10）

在（10）两端对x积分得

-F（x）+G（x）=-cosx+C （11）

由（9）和（11）联立可得

F（x）=cosx- C 2 ，G（x）= C 2

把上式代入（8）中可得初值问题的解为

u（x，t）=cos（x-t）

解法二：对定解问题关于x取Fourier变换，有

F[u（x，t）]=u ∧ （λ，t），F 2u x2 =-λ2u ∧ （λ，t），F 2u t2 = d2 dt2 u ∧ （λ，t）

F[cosx]=π[δ（λ+1）+δ（λ-1）]，F[sinx]=πi[δ（λ+1）-δ（λ-1）]

则原定解问题转化为以λ为参数的常微分方程的初值问题：

d2u ∧ dt2 =-λ2u ∧ u ∧ （λ，0）=π[δ（λ+1）+δ（λ-1）]， d2u（λ，0） ∧ dt2 =πi[δ（λ+1）-δ（λ-1）]

解之可得

u ∧ （λ，t）= π λ isinλt+πcosλt δ（λ+1）+ πcosλt- π λ isinλt δ（λ-1）

对上式两端取Fourier逆变换，且利用δ-函数的筛选性质，得原定解问题的解为

u（x，t）= 1 2π ∫∞-∞ π λ isinλt+πcosλt δ（λ+1）+ πcosλt- π λ isinλt δ（λ-1） eiλxdλ=sint eix-e-ix 2i +cost eix+e-ix 2i =sintsinx+costcosx=cos（x-t）

参考文献：

[1]崔仁浩，等.数学物理方程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2016.

[2]郝江浩，闫卫平.数学物理方程课程研究性教学探索[J].高等理科教育，2011，（3）：79-81.

[3]姜礼尚，陈亚浙，刘西恒，易法槐.数学物理方程讲义[M].北京：高等高等教育出版社，2007.

作者简介：

龙琼，四川大学锦城学院通识教育学院。