基于傅里叶变换和Gyrator变换的图像加密

蔡宁　沈学举

摘要：基于傅里叶变换和Gyrator变换对图像进行加密。将原始图像和第一个随机相位函数叠加后做傅里叶变换，然后将频域信息减去第二个随机相位函数后得到一个复函数。复函数经过Gyrator变换得到加密图像，将第二个随机相位函数作为相位密钥，同时将Gyrator变换角度作为密钥，由此增大了密钥空间和增强了系统安全性。

通过数字方法对图像进行加密，解密过程用光学装置实现。计算机模拟结果表明，该加密方法解密图像质量好，系统安全性良好。

关键词：加密； 傅里叶变换； Gyrator变换； 相位密钥

中图分类号： O 438 文献标志码： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2015.01.016

Abstract：A novel optical encryption is proposed based on Fourier transform and Gyrator transform. The original image is firstly multiplied with the first random phase function. Then the Fourier transform is performed and the information of the frequency domain minus the second random phase function. A complex function is obtained and the Gyrator transform is performed to get the encrypted image. The transform angle of the Gyrator transform serves as a key and the second random phase function serves as a phase key. The two keys ensure the security of the encryption system. The encryption process is performed digitally and the decryption process can be implemented in the digital and optoelectronic way. The optical decryption scheme is designed. Computer simulations indicate that the decrypted image is of good quality and the encryption system has a high security.

Keywords：encryption； Fourier transform； Gyrator transform； phase key

引 言

近年来，光学图像加密技术因其高处理速度、高并行度，可以提供相位、振幅、偏振态、波长、空间频率等多种加密自由度而引起了人们的极大兴趣。Refregier等提出双随机相位编码方法[1]，在空域和频域对加密对象进行编码，并将输出平面得到的复振幅图像作为加密结果。双随机相位编码技术是光学信息加密领域中的经典技术，具有较高的安全性和鲁棒性，但也存在一些缺点，如系统对精度要求高，容偏能力低，加密结果为复振幅，不便于记录和传输等。研究人员深入研究了双随机相位编码方法并提出了许多改进的或者是新的加密方案。2004年，Situ等根据菲涅耳夫琅和费衍射，提出了菲涅耳域双随机相位编码方法[2]，利用两次菲涅耳变换和两个随机相位模板对原图像进行双随机相位编码加密。该系统的光学加密解密装置和4f系统类似，但是不需要透镜，并且增加了密钥空间。分数傅里叶变换和Gyrator变换都是传统傅里叶变换的推广形式。基于分数傅里叶变换，研究人员提出了相应的双随机相位编码方法[3]。其加密解密过程并没有增加光学元件，但增加了密钥空间，大大提高了系统的安全性。1993年，Lohmann深入研究光学分数傅里叶变换并给出了两种实现分数傅里叶变换的光学装置[4]。2007年，Rodrigo等给出了Gyrator变换的积分定义形式[5]，并设计了一种Gyrator变换的光学实现装置[6]。Gyrator变换的变换阶数可用作密钥，并且其变换阶数的改变也是通过绕光轴旋转透镜实现的，易于调节并减少了光轴校准带来的误差。

本文基于Gyrator变换提出了一种新的加密方法。原图像先经第一个随机相位函数扰乱后，再将其频域信息归一化后直接减去第二个随机相位函数，所得的频域信息经Gyrator变换后得到加密图像。该加密方法中，第二个随机相位函数作为密钥，Gyrator变换的变换角度作为解密密钥。该加密方法、加密过程直观，有较高的安全性。

1 理论分析

1.1 Gyrator变换

加密过程用数字的方法实现，解密过程可以用数字的方法实现也可以用光电混合系统实现，实现装置如图2所示。图中，SLM1和SLM2为空间光调制器，GT为Gyrator变换的光学装置，半透半反棱镜、全反射镜、傅里叶透镜组成逆傅里叶变换的光学装置。

将SLM1加载为全息图E′（x，y），置于Gyrator变换的输入平面，经离轴的参考光照射后做变换角度为-α的Gyrator变换得到恢复的g（u，v）。将SLM1加载为随机相位函数R（u，v），R（u，v）与恢复的g（u，v）进行相关叠加。将叠加结果置于逆傅立叶变换的输入平面，最后，在逆傅里叶变换的输出平面用CCD接收得到解密图像。

2 仿真实验及性能分析

用MATLAB 7验证方法的正确性和有效性。原图像“Babara”像素为512×512，灰度值为0到256，如图3（a）所示。加密过程中，原图像空域信息被扰乱后，其频域信息减去随机相位函数R（u，v），得到复函数g（u，v），图3（b）为R（u，v）。取Gyrator变换的变换角度α为1.2，则得到的加密图像如图3（c）所示。解密过程中，各个密钥都正确时，恢复所得的g（u，v）的实数部分如图3（d）所示，R（u，v）与恢复的g（u，v）的叠加结果的实数部分如图3（e）所示，在逆傅里叶的输出平面，用CCD接收到的解密图像如图3（f）所示，可以看出，原始信息完全恢复。

为研究各个密钥对系统抗攻击性能的影响，图3（g）给出了相位密钥R（u，v）错误时的解密结果，MSE为7.541×104，解密图像为噪声分布，无法得到原图像信息。图3（h）为Gyrator变换的变换角度α错误时的解密结果，MSE为7.612×104，无法得到原图像信息。通过直接观察及对MSE值分析可得：如果密钥R（u，v）和Gyrator变换的变换角度α有一个不正确，将无法恢复原图像，说明该方法具有较高的安全性。

为了通过原图像和解密图像的MSE值与Gyrator变换的变换角度α的偏离之间关系，研究该加密方法对α的敏感性。为此，改变α，使其变化区间为[1.1，1.3]，步长为0.005。原图像和解密图像的MSE值随α的变化曲线如图4所示。可以看出，稍微变换一点，就无法得到正确的解密图像，说明该加密系统对α的变化很敏感，具有较高的安全性。

3 结 论

本文基于傅里叶变换和Gyrator变换提出了一种图像加密方法。原图像的频域信息减去一个随机相位函数后经Gyrator变换得到加密图像，密钥为随机相位函数及Gyrator变换的变换角度，并设计了解密过程的光学装置。用计算机模拟得到了加密图像，并验证了所有参数正确时，才可以完全地恢复原图像。对于非法用户，由于没有正确的密钥，无法得到正确的解密图像。研究表明，解密图像对Gyrator变换的变换角度的敏感性很高，变换角度变化一点，就无法得到正确的解密图像。该加密系统具有良好的安全性。

参考文献：

[1] REFREGIER P，JAVIDI B.Optical image encryption based on input plane and Fourier plane random encoding[J].Optics Letters，1995，20（7）：767-769.

[2] SITU G H，ZHANG J J.Double random-phase encoding in the Fresnel domain[J].Optics Letters，2004，29（14）：1584-1586.

[3] UNNIKRISHNAN G，JOSEPH J，SINGH K.Optical encryption by double random phase encoding in the fractional Fourier domain[J].Optics Letters，2000，25（12）：887-889.

[4] LOHMANN A W.Image rotation，Wigner rotation，and the fractional Fourier transform[J].Journal of the Optical Society of America A，1993，10（10）：2181-2186.

[5] RODRIGO J A，ALIEVA T，CALVO M L.Gyrator transform：properties and applications[J].Optics Express，2007，15（5）：2190-2203.

[6] RODRIGO J A，ALIEVA T，CALVO M L.Experimental implementation of the gyrator transform[J].Journal of the Optical Society of America A，2007，24（10）：3135-3139.

（编辑：刘铁英）