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基于剪切变形规律的剪力滞分析的有限梁段法

2018-01-31周朋蔺鹏臻何志刚

铁道科学与工程学报 2018年1期
关键词:翼板梁段剪力

周朋,蔺鹏臻,何志刚



基于剪切变形规律的剪力滞分析的有限梁段法

周朋1,蔺鹏臻2,何志刚1

(1. 兰州交通大学 甘肃省道路桥梁与地下工程重点实验室,甘肃 兰州 730070;2. 兰州交通大学 土木工程学院,甘肃 兰州 730070)

选取基于剪切变形规律的翘曲位移函数的有限梁段法分析箱梁的剪力滞效应。该翘曲位移函数的定义是从剪力滞效应是由于翼板剪切变形引起的这一基本机理出发的,原理更加明确并且分析精度高。建立基于最小势能原理的变分法的箱梁剪力滞控制微分方程及边界条件,在此变分法微分方程的基础上,导出相应梁段单元剪力滞系数矩阵和广义荷载列阵,运用有限梁段法来分析剪力滞效应,分析试验模型及铁路简支箱梁分别在均布荷载和跨中集中荷载作用下以及悬臂箱梁箱在均布荷载作用下的剪力滞效应。分析简支梁和悬臂梁分别在均布荷载和跨中集中荷载作用下的剪力滞效应。并与相应的变分法解析结果进行比较,结果吻合良好,从而验证本文方法的正确性。

箱梁;剪力滞;剪切变形;有限梁段

薄壁混凝土箱梁由于抗扭刚度大、整体性能良好、可塑性强和现场整体浇注方便等优点而在桥梁中广泛使用[1]。剪力滞效应是指箱梁上下翼板由于剪切变形的影响,而使得翼板的纵向正应力沿横向分布不均匀的现象。在箱梁的设计计算中,若不考虑剪力滞效应,会高估箱梁的抗弯刚度,使挠度计算值偏小;还会使箱梁翼缘板中实际应力峰值无法得到真实反映,从而造成结构安全隐患。现阶段预应力混凝土箱梁的发展趋势为长悬臂板、大腹板间距、薄壁轻型化,剪力滞效应对箱梁应力分布和挠度的影响会更加显著。因此,分析研究箱梁的剪力滞效应显的越加重要[2]。剪力滞效应分析主要采用能量变分法、比拟杆法、数值分析法、弹性理论 法[3]。变分法中,剪滞翘曲位移函数的选取是分析剪力滞效应的关键。Reissner[4]假设翼板剪滞翘曲位移函数为二次抛物线,横截面上引入一个翼板剪切变形最大差,建立矩形双轴对称箱梁的剪力滞效应的变分解。罗旗帜[5]取能量变分法导出的控制微分方程的齐次解作为梁段的有限元位移模式,在变分原理的基础上,提出分析箱梁剪力滞效应的有限段法。郭金琼等[6]应用变分法和有限条法分析箱梁的剪力滞效应。吴幼明等[7]在文献[5−6]基础上提出底板、顶板和悬臂板3个不同的剪滞翘曲位移函数,以考虑箱梁不同翼板及结构上下不对称对翘曲位移幅度的影响。周世军等[8]与文献[5−7]考虑剪力滞效应的基本思路相似,不同的是在变分原理基础上,采用每结点有2个剪力滞自由度有限梁段法求解剪力滞效应。本文采用的翘曲位移函数是基于翼板间剪力流的差异定义的,在此基础上采用每结点有2个剪力滞自由度有限梁段方法求解剪力滞效应。文献[8]方法与一般杆系有限元法配合使用,提出与一般梁单元分析相适应的分析箱梁剪力滞效应的方法。本文在文献[8−9]的基础上采取基于剪切变形规律的翘曲位移函数的箱梁剪力滞效应分析的有限梁段法分析简支梁、悬臂梁分别在集中荷载和均布荷载作用下箱梁的剪力滞效应,将计算结果与其他文献结果进行比较。

1 变分法剪滞控制微分方程

混凝土薄壁箱梁在竖向荷载作用下,截面的弯曲变形将伴随着截面面外的翘曲而产生剪力滞后效应,从而在横截面上存在服从平截面假设的剪滞翘曲位移。结合文献[5−6, 10],定义()为横截面任一点(,,)的竖向挠曲位移,¢()为相应转角,(,,)为纵向位移,()为截面广义剪滞翘曲位移,(,)为剪滞翘曲位移函数。箱梁截面尺寸及坐标方向如图1。

图1 箱梁尺寸及坐标方向

横截面的纵向位移可表示为:

由文献[9]已知基于剪切变形的翘曲位移函数:

式中:2=c/t,即悬臂板和内侧顶板面积之比;3=zAb/zss;s为顶板的面积包括悬臂板和内侧顶板;A为底板面积。

翘曲位移函数选定后,可根据截面任一点的纵向位移,得到截面的弹性应变为:

梁体的应变能可表示为对梁体积的积分:

梁段的总势能:

对式(5)变分,并令P=0,得到下列微分方程及边界条件:

式(6)中第3式为边界条件,整理式(6),并令

和称作瑞斯纳参数

得到梁段的剪力滞控制微分方程:

式中:为弹性模量;为剪切模量;()和()分别为梁上任意截面处的剪力和弯矩。

全截面竖向弯曲惯性矩:

全部翼板的剪滞翘曲惯性矩:

全部翼板的剪滞翘曲惯性积:

全部翼板的剪滞翘曲面积:

2 剪力滞计算的有限梁段公式

图2为考虑剪力滞的梁段单元。结合文献[8]在竖向分布荷载作用下,单元两端的杆端力分别为QMQM。假定梁的剪力在单元上线性分布,即

式中:为单元长度。

图2 梁段单元示意图

与此同时,假定剪力滞只影响梁截面上正应力的分布,但沿梁纵向的截面内力不发生改变。于是,可由一般有限元法得到单元两端的杆端力QMQM。则微分方程(7)的一般解形式为:

由边界条件可确定系数1和2。对式(10)求导,可得:

0,u=u,¢=u¢和,j,¢j¢代入式(10)和式(11)可得:

系数1和2可由(12)~(15)的任意两方程联立解得。首先将式(12)和式(14)联立解出第1组1和2,然后代入式(13)和(15),可得式(16)和(17);同理将式(13)和式(15)联立解出第2组1和2,然后代入(12)和(14),可得式(18)和(19)。

式中:

将式(17)和(18)次序调整后合并,写成矩阵 形式:

[]{}={} (24)

式中:

式中:[]为单元系数矩阵;{}为广义单元结点位移列阵;{}为广义单元外荷载向量。

按以上方法进行单元分析后,就可以根据剪力滞广义平衡与变形协调条件,把作为分离体的各个单元重新组成一个完整的结构。由单元的剪力滞系数矩阵[]是对称矩阵,可得结构的总剪力滞系数矩阵也是对称矩阵。总剪力滞系数矩阵的组集和形成与形成总刚度矩阵的方法相同,因此总的剪力滞系数矩阵也具有等带宽性质,求解方程组的方法与一般有限元法相同。

3 截面应力

按初等梁理论算得箱梁任意截面上的应力为

考虑剪力滞影响,由式(1),(2)及式(6)第1式得箱梁任意截面上的应力为:

剪力滞系数表示为:

式(26)中(,)取式(2)中的第1式,则顶板应力为:

悬臂板、底板应力同理可得。

腹板与翼板的交界处(1)剪力滞系数为:

顶板中点处(0)剪力滞系数为:

4 与实验解的对比验证

以文献[5, 9, 12]中跨径800 mm简支梁有机玻璃模型为例,模型的截面尺寸见图3。试验模型的平均弹性模量=3 000 MPa,泊松比=0.385。模型分别在跨中作用=0.272 2 kN集中荷载和满跨=0.01 kN均布荷载[5]。

采用基于剪切变形规律的翘曲位移函数的有限梁段法,组集剪力滞系数矩阵[]与广义外荷载向量{},运用MATLAB软件编程求解得简支梁跨中截面各翼板的纵向应力以及相同截面形式的悬臂梁任意位置处沿梁纵向的纵向应力分布,本文取=1与=0处的沿梁纵向的纵向应力。为验证本文方法的有效性和准确性,采用ANSYS有限元软件建立板壳模型进行数值分析,并与模型试验值和文献[9]进行对比。简支梁跨中截面的各翼板的纵向应力如图4和图5。

单位:mm

图4 集中力作用下跨中截面纵向应力分布

由图4和图5可得,用基于剪切变形规律的翘曲位移函数的有限梁段法分析简支梁分别作用跨中集中荷载和满跨均布荷载时,跨中截面的纵向应力分布与文献[9]及ANSYS解析结果吻合良好,实验数据与本文分析结果具有较高的吻合。

图5 均布荷载作用下跨中截面纵向应力分布

分析与简支梁相同截面形式的悬臂梁在=1与=0处沿梁纵向的纵向应力,如图6和图7。

图6 y=b1时纵向应力沿梁纵向分布

图7 y=0时纵向应力沿梁纵向分布

由图6和图7可得,分析悬臂梁作用均布荷载时=1与=0处的沿梁纵向的纵向应力与文献[11]解析解及ANSYS解析解吻合良好,且实验数据的分布与本文分析结果也吻合良好,进一步证实了本文方法的有效性性与准确性。

5 铁路箱梁的剪力滞效应分析

1) 基本参数

以时速250 km/h客运专线(城际铁路)无砟轨道混凝土简支整孔箱梁为例。为简化计算,全桥截面尺寸均采用跨中截面形式。该简支梁的物理参数:混凝土等级C50,=3.55×104MPa,=1.42×104MPa;跨中截面几何尺寸如图8所示。

单位:mm

2) 剪力滞系数计算

与有机玻璃模型类似运用MATLAB软件编程计算分析简支梁分别在跨中集中荷载和满跨均布荷载作用下的剪力滞效应,并将计算结果与文献[11]变分法解析结果对比,见图9和图10。

图9 跨中集中荷载下剪力滞系数沿梁纵向分布

图10 均布荷载下剪力滞系数沿梁纵向分布

由图9和图10可得,在结构形态、边界条件和荷载条件完全对称的情况下,用本文方法分析得到的剪力滞系数结果关于跨中截面完全对称。沿梁纵向某个截面的剪力滞系数较大或变化幅度较大,则说明这个截面弯矩绝对值相对较小,剪力滞系数急剧变化是由于其本身的定义导致的(式(29)和式(30)弯矩在分母上)。以上分析可得在不同边界条件和荷载工况下,本文分析得到的沿梁纵向的剪力滞系数结果与变分法所得结果吻合良好。由文献[3, 6, 11]可知,运用变分法分析箱梁的剪力滞效应与试验结果吻合良好,有较好精度。因此本文方法结果同样也具有较高的精度。

6 结论

1) 基于剪切变形规律的翘曲位移函数,在变分法微分方程的基础上,提出有限梁段法,利用单元的边界条件导出相应梁段单元剪力滞系数矩阵和广义荷载列阵来分析剪力滞效应,该翘曲位移函数从剪力滞效应是由于翼板剪切变形引起的这一基本机理出发原理更加明确,分析精度更高。

2) 大量文献表明,变分法分析剪力滞效应结果与试验结果、有限条法及板壳有限元法结果吻合良好且具有较高的精度,而本文方法结果与变分法解析结果基本一致,表明本文方法结果同样具有很高的精度。

3) 分析试验模型和铁路箱梁在集中荷载和均布荷载条件下剪力滞系数沿梁长和特殊截面的分布,其结果与变分法解析结果吻合良好,为复杂桥梁形式分析剪力滞效应提供参照。由于计算公式简单方便,可适于各种边界条件下的箱梁剪力滞效应分析。

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Finite segment method of shear lag analysis of box girders based onflange-slab shear deformation law

ZHOU Peng1, LIN Pengzhen2, HE Zhigang1

(1. Key Laboratory of Road & Bridge and Underground Engineering Gansu Province, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China; 2. School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Through the finite segment method based on the warping displacement function is caused by shear deformation analyzes the shear lag effect of the thin-wall box girder. The warping displacement function is defined from the shear lag effect caused by the shear deformation of the wing plate. The principle is more explicit and high degree of precision. The governing differential equation for shear lag of box girders and the corresponding boundary calculus method based on the variation principle of the minimum potential energy. Based on the method to define the warping displacement function of shear lag and the governing differential equations by variational principle, derived the shear lag coefficient matrix and generalized load vector, using finite element method to analyze shear lag effect. The shear log effect of the simply supported box girder indude experimental model and railway under uniform load or mid-span load and the cantilever box girder under uniformly distributed load are analyzed. The results obtained from the finite segment procedure accurately agree with those from variational analysis method. which validates the effectiveness of the present analytical method.

box girder; shear lag; shear deformation; finite segment method

U411.5

A

1672 − 7029(2018)01 − 0103 − 07

2016−11−21

国家自然科学基金重大资助项目(51368031);中国铁路总公司科技研究开发计划课题(2017G010);兰州交通大学优秀平台资助 项目(201601)

蔺鹏臻(1977−),男,甘肃甘谷人,教授,博士,从事桥梁结构设计理论研究;E−mail:pzhlin@mail.lzjtu.cn

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