基于Petri网模型的自动线流程设计与分析

郑金来,张 猛，熊昌秀，蔡爱林,丁 玲

(江苏高精机电装备有限公司，江苏 盐城 224053)

0 引言

在“工业4.0”背景下，学界与产业界越来越关注机床与生产线的智能化设计与应用[1-3]。智能制造是制造业发展的主要方向，机器人是实现智能制造的重要支撑手段[4]。工业机器人与智能制造结合得愈发紧密[5]。然而，机器人在将自动线变得更加高效智能的同时，也将自动线的动作流程变得更加复杂。如何利用好机器人来实现自动线最高效的生产动作流程，成为了自动线设计过程中至关重要的方面。在实践中，传统的设计方法一般是先通过粗略预估自动线各个单体动作的时间，而后依靠经验来预想一个大致流程。这样的方法一方面在处理高度复杂的自动线时显得力不从心，另一方面需要在自动线组装完成后，消耗大量时间进行调试。

Petri[6]网是一种对离散并行系统的数学表示，该理论在工作流，特别是半导体晶元加工系统的设计中得到了广泛的应用[7-9]。本文结合某实际自动线设计制造项目，通过事先精准预估各个单体动作时间，依靠时序Petri网理论对自动线进行数学建模，而后再根据混合整数规划理论，提出了一种针对包含机器人的并行自动生产线的最优流程设计与分析方法，取得了很好的实践应用效果。

1 含机器人自动线的组成与关键动作

1.1 含机器人自动线的组成及功能描述

含机器人自动生产线的组成大致如图1所示，其由上料滚道、下料滚道、四台相同功能的机床单机、两个料架、以及一台机器人组成。将四台相同功能的机床单机集成到一条生产线中，目的是通过并行加工，加快工件的生产节拍。机器人将从上料滚道末端取下待加工坯料，而后放置到一台空闲机床中进行加工。待一件工件加工完成后，机器人将其从所在机床中取下，而后放置到下料滚道。

图1 含机器人自动线的组成示意图

特别地，为了减少机器人的空载移动，提高机器人调度四台机床单机协同加工的效率，设置了两个料架，每个料架设置有两个工位，用于临时放置待加工的坯料或者加工完成的工件。也正是由于这两个缓冲料架的存在，使得整条自动线，特别是机器人的动作流程设计变得复杂。另一方面，由于在加工过程中，坯料或工件会被临时放置在料架上，从而增加了其被机器人抓起或放下的次数，因此，料架在该自动线中的存在是否合理同样是需要分析与探讨的问题。

1.2 含机器人自动线的关键动作及动作时长

为了能够对该自动线进行准确建模和正确分析，首先确定该自动线的一些关键动作，并且较为精准地预估完成这些单体动作所需要的时间。

含机器人自动线的关键动作主要有：机器人上夹具对坯料或工件的抓取或放下、机器人在上料滚道或下料滚道与料架之间的移动、机器人在料架与机床加工工位之间的移动、机器人在上料滚道或下料滚道与机床加工工位之间的移动、以及机床对坯料进行加工。上述关键动作的符号、定义及估测时间如表1所示。

表1 含机器人自动线关键动作定义及动作时长

2 含机器人自动线的模型构建方法

在分析得到含机器人并行自动生产线的关键动作，并精准估测了各关键动作的时长后，尝试利用时序Petri网[10]对该并行自动生产线进行数学建模。时序Petri网模型能够有效表征实际系统的物理结构和工作逻辑，便于进行深入的理论分析。

2.1 模型定义

(1)P={p1,p2,…,pm}是所有库所的有限集合；

(2)T={t1,t2,…,tn}是所有变迁的有限集合；

(3)I:(P×T)是输入函数，在图模型中由从库所指向变迁的弧边表示；

(4)O:(T×P)是输出函数，在图模型中由从变迁指向库所的弧边表示；

(5)K0=[k1,0,k2,0,…,km,0]表示各个库所初始状态时的令牌数量；

(6)H=[h1,h2,…,hm] 表示各个库所的时间延迟。

此外，库所中包含令牌，表示与该库相关联的资源是可使用的，令牌的数量表示可使用资源的数量，当一个资源被占用时，库所将失去一个令牌。当一个变迁的每个输入库所都拥有令牌时，该变迁才允许发生。若该变迁发生，输入库所的令牌被消耗，同时为输出库所产生令牌。

图2 含机器人自动线Petri网模型

2.2 Petri网模型

图2所示的含机器人自动线的Petri网模型，共有8个变迁，10个库所。表2详细说明了各个变迁或库所的具体含义，以及相对应的时间延迟。

表2 变迁与库所的具体说明

其中，库所p5代表机床可用工位，因该自动线包含4台相同功能机床，每台机床一个工位，故p5的初始令牌数k5,0=4。库所p9代表机器人可用工位，该自动线包含的机器人仅有一个工位，因此p9的初始令牌数k9,0=1。库所p10代表料架可用工位，如1.1节所说，该自动线包含两个料架共四个工位，因此p10的初始令牌数k10,0=4。各变迁无时间延迟，各库所的时间延迟由加床加工时间、机器人夹具夹紧或松开时间、以及机器人位移运动时间构成，具体的时间如表1所示。至此，得到了含机器人自动生产线的完整时序Petri网模型。

3 含机器人自动线流程设计优化方法

在数学建模基础上，通过理论分析与混合整数规划的方法，完成含机器人自动线的动作流程设计优化。

3.1 理论分析计算

自动生产线的动作流程是按周期循环的，设含机器人自动线的最小周期为λ，现计算λ的理论下界。为了方便，简化模型，机器人位移运动的时间均取值表1中的最长位移时间，3s。

从机器人的动作角度考虑，因为存在料架的设计，一件坯料经过加工到最终成为工件完成下料动作，所以至少需要经过8次抓起或放下加8次移动，共计8×(4+3)=56s。这一时间也就是有机器人运动确定的另一个λ的下界。

综上分析，通过理论计算，取两种理论下界较大值，含机器人自动线的理论最短动作周期为58.75s。下面将通过对目标函数及约束条件的构建，通过混合整数规划的方法，得到一套该型自动线的动作时序方案，尽可能实现接近理论值的运行周期。

3.2 混合整数规划方法

非常直接地，试图得到最短的自动线动作周期，那么目标函数就设为：minλ。

下面，将从时序Petri网模型中提取上述优化问题的约束条件。首先，设xi∈X为变迁ti发生的时刻，设sj∈S为第j个发生的变迁的发生时刻。定义8×8矩阵Z，其中zi,j=1代表变迁ti是在一个周期内第j个发生的变迁。Zj为矩阵Z的第j列。定义8×10矩阵A，表示时序Petri网模型的令牌转移矩阵，aij表示当变迁tj发生时，库所pi的令牌变化，1表示增加一个令牌，-1表示减少一个令牌。最后，定义10×8矩阵K作为模型中各库所的状态矩阵，ki,j代表一个周期内，触发j次变迁后，库所pi的令牌数量。Kj为矩阵K的第j列，K0即表示初始令牌状态。其中，ti是库所pl的前序变迁，tj是库所pl的后序变迁。

约束1：对于模型中的p1,p2,p3,p4,p5,p6p7,p8,这8个库所的前序及后序变迁都是固定的。因此，

xj-xi≥hl-kl,0λl=1,2,3,4,5,6,7,8

约束2：状态转移约束。在本文讨论的问题中，令牌转移矩阵具体为：

故有状态转移方程：

Kj=Kj-1+ATZj,j=1,2,…,8

约束3：一个周期内，每个变迁只能被触发一次，且同一时刻仅能触发一个变迁。因此，本优化问题具有以下约束：

约束4：因为sj表示第j个发生的变迁的发生时刻，且任意相邻两次变迁之间均间隔一次抓取或放下，外加一次机器人位移运动。同样，为了方便计算，简化模型，将位移运动的时间统一为最长时间v=3s，因此应满足约束：

sj-sj+1≤-(w+v),j=1,2,…,7
s8-(s1+λ)≤-(w+v)

约束5：xi与sj之间将通过zij关联起来，具体如下所示：

sj-xi≤(1-zij)B
sj-xi≥(zij-1)B

这样，若zij=1，则有sj=xi，表示变迁ti是在一个周期内第j个被触发的。

约束6：初始令牌状态约束。同一个令牌，仅能按照模型的结构，在一个Petri网的部分库所中转移。具体的，在本问题中，令牌的初始状态应满足约束：

k1,0+k3,0+k6,0+k8,0+k9,0=1
k4,0+k5,0=4
k2,0+k7,0+k10,0=4

接下来，就应当在满足上述6个约束条件的同时，优化目标函数。由于该优化问题中的变量，部分是整数变量，有些是0-1变量，还有些是实数变量，因此，该优化问题是典型的混合整数规划问题。

如果能得到最优值λ*及最优解中的Z*与S*，也就得到了该自动线动作流程的最短周期与各单体动作时序，也就完成了最优流程的设计。

4 问题求解

按照上一节详细描述的优化目标和约束条件，以LINGO 11.0为开发工具，在Windows系统环境下，编写代码对该混合整数规划问题进行求解。最终，得到的目标函数最优值如下所示：

λ*=58.75

这与3.1节中分析计算得到的该自动线动作周期的理论最小值相吻合，两相印证，证明了3.1节理论计算的合理性，同时证明了优化结果的准确性。

此外，该最优值所对应的最优解不是唯一的，其中一组典型的最优解如下所示：

进一步地，将上述最优解所表示的含机器人自动线的一组最优动作流程及时序，以表3的形式详细地说明。

表3 含机器人自动线的最优动作流程

通过观察其它最优解所表示的最优动作流程，发现虽然它们之间各有不同，但是变迁5、6、3、4的前后相邻组合总是不变的。分析这四个变迁的实际意义可以发现，这样的前后相邻组合可以保证机床空闲的时间最短，从而实现自动线最高效率的生产。下面一节将对所求结果进一步深入分析。

5 料架设计与最优解的合理性分析

之前的研究，在自动线设计中存在两个料架的前提条件下，得到了其最优动作流程。然而，前提条件的合理性同样值得研讨。

料架的设计能够使得机器人在生产线上位移运动的最长时间v减半。按照3.1节的理论分析，设计中存在料架时，自动线运行周期的下界λ1为：

当设计中不存在料架时，由加工工序确定的周期下界中，每次位移运动的时长变为存在料架时的两倍。另一方面，由机器人运动确定的周期下界中，运动次数由八次减为四次，每次的位移运动的时长同样变为存在料架时的两倍。因此，不存在料架设计的自动线运行周期的下界λ2如下所示：

若在自动线中设置两个料架为合理设计，那么就必须满足以下条件：

λ1<λ2

求解这一不等式，可以得到边界条件：

v<3.76

即只有机器人在上料或下料滚道移动与料架之间运动的所需时间少于3.76s的条件下，在自动线中设置两个料架才是合理的设计。因为在本文所讨论的自动线中，这一时间可以控制在3s，所以含机器人自动线中的料架设计是合理的，本文之前得到的其最优动作流程设计也是合理的。

6 总结

以含机器人自动生产线为研究对象，依照时序Petri网理论对其完成了数学建模。按照所得Petri网模型的结构和约束关系，一方面通过理论分析计算，得到了自动线运行周期的理论下界；另一方面，完成了目标函数的确立与约束条件的提取，将一个自动生产线的流程设计问题成功转化为一个混合整数规划的数学优化问题。借助数学优化工具，成功求解了所提优化问题，得到了与理论计算相同的最优值，且在获取最优解的同时，得到了该自动线的最优动作流程。

进一步的理论分析展现了上述方法不仅能高效求解已知结构下的最优动作流程，还能够严谨地检验自动线结构设计的合理性，从而避免在自动线结构不合理的基础上盲目而徒劳地设计动作流程。

综上，通过研究，本文提出并实践了一种依靠数学理论，设计自动生产线动作流程的高效方法，取得了很好的实际效果，对企业实际设计工作具有重要的指导意义。

[1] 袁建平. 把握智能制造技术迎接智造机床未来——工业4.0的启示[J]. 装备机械, 2015(1):8-11.

[2] 孟现锋, 罗勇. 含并行机器的自动化制造单元机械手调度策略[J]. 组合机床与自动化加工技术, 2017(1):42-45.

[3] 韩晋栋, 徐晋勇, 张应红. 无线传感器网络在车间调度优化应用研究[J]. 组合机床与自动化加工技术, 2016(10):157-160.

[4] 中国智能城市建设与推进战略研究项目组. 中国智能制造与设计发展战略研究[M]. 杭州: 浙江大学出版社, 2016.

[5] 徐正平. 智能制造与工业机器人——智能机床的应用与未来展望[J]. 金属加工:冷加工, 2013(20):6-11.

[6] Peterson, Lyle J. Petri Net Theory and the Modeling of Systems[J]. Computer Journal, 1981.

[7] Jensen K, Kristensen L M, Wells L. Coloured Petri Nets and CPN Tools for modeling and validation of concurrent systems[J]. International Journal on Software Tools for Technology Transfer, 2007, 9(3-4):213-254.

[8] 潘春荣, 王际鹏. 具有多品种晶圆混合加工的单臂组合设备调度[J]. 控制理论与应用, 2016, 33(9):1171-1181.

[9] Jung C, Lee T E. An Efficient Mixed Integer Programming Model Based on Timed Petri Nets for Diverse Complex Cluster Tool Scheduling Problems[J]. IEEE Transactions on Semiconductor Manufacturing, 2012, 25(2):186-199.

[10] Suzuki I, Lu H. Temporal Petri Nets and Their Application to Modeling and Analysis of a Handshake Daisy Chain Arbiter[J]. IEEE Transactions on Computers, 1989, 38(5):696-704.