基于多体理论的砂轮修整系统几何误差建模*

唐 凯，洪荣晶,1b，方成刚,1b，张 虎

(1.南京工业大学 a.机械与动力工程学院；b.江苏省工业装备数字制造及控制技术重点实验室，南京 210009；2.南京工大数控科技有限公司，南京 210009)

0 引言

数控成形磨齿机作为齿轮磨削的关键设备，其加工精度主要由两个方面决定: 修整过程中砂轮的修整精度和磨齿过程中砂轮相对齿轮的位置精度[1]。其中，砂轮修整精度是决定成形磨齿加工精度的重要因素。在修整砂轮时，由制造误差和装配误差引起的几何误差始终影响着系统的定位精度。为了提高磨齿精度，必须对砂轮修整系统的几何误差进行建模分析，找出主要误差来源并进行补偿。

近年来，多体系统运动学理论的提出为解决复杂多轴数控机床的运动几何误差提供了途径[2]。多体系统误差运动分析的基本原理是采用低序体阵列的方法描述多体系统拓扑结构的关系，用4×4阶齐次方阵描述点和矢量在广义坐标系中的变换关系，让多体系统的运动误差分析变得简单、直接[3-6]。

在国内，刘又午等[7]提出了基于多体系统理论的数控机床误差模型、参数辨识及补偿技术研究。韩江等[8]利用齐次坐标变换建立了砂轮磨齿机空间误差模型，并对几何误差进行了预测和实时补偿。上海交通大学任永强等[9]在几何误差模型建立过程中考虑了热误差的影响，得到了很好的补偿效果。而针对成形磨齿机砂轮修整系统的几何误差，目前很少有学者进行探究。

本文根据修整系统金刚滚轮与砂轮之间传动链的封闭性，以相邻体间典型运动变换矩阵为基础，推导出考虑误差时的相邻体变换矩阵。建立砂轮修整系统的几何误差模型，并给出综合误差补偿的方案，通过磨削试验验证了误差数学模型的正确性及误差补偿的有效性。

1 SKMC-3000W/20数控成形磨齿机

普及型成形磨齿机的构成组件包括床身、工作转台、立柱、托板、刀具和多个回转轴等，是一个复杂的机械运动系统[10]。

图1为SKMC-3000W/20数控成形磨齿机，该机床共有6个数控轴和2个主轴。6个数控轴包括X、Y、Z、W四个直线轴和A、C两个旋转轴，2个主轴为砂轮旋转主轴S1和金刚轮旋转主轴S2。

图1 SKMC-3000/20成形磨齿机

1.1 成形砂轮修整原理

如图2所示，砂轮修整系统由Y轴、W轴、金刚石滚轮主轴、砂轮主轴组成。其中金刚石滚轮作为刀具，砂轮为加工件。在用砂轮磨齿之前，依据输入的参数，系统先计算出砂轮的理论轴向廓形，之后Y轴和W轴同时动作，金刚石滚轮通过运行轨迹将砂轮修整成既定形状。

在修整过程中金刚石滚轮和砂轮都保持高速旋转，其余轴不动作。最后把修整好的砂轮定位到待磨削齿轮槽中间就可以实现一个齿槽的加工。

修整砂轮会产生误差，过程中将复映到加工齿轮上，决定了齿形误差大小。为研究齿轮加工误差，应首先建立砂轮修整误差模型。

图2 砂轮修整系统及其拓扑图

1.2 修整系统拓扑结构及运动分析

砂轮修整系统的运动件包含B0、B1、B2、B3、B4、B5、B6体，可将此运动系统分为两个分支。

分支一：磨头架、砂轮电主轴、砂轮

分支二：磨头架、Y轴、W轴、金刚石滚轮主轴、金刚石滚轮

显然，砂轮B2和金刚石滚轮B6分别为分支一和分支二的末端体。

依照图2的砂轮修整系统的拓扑结构示意图和相应描述，可以得出如表1所示的砂轮修整系统低序体阵列。

表1 砂轮修整系统低序体阵列

固定连接的两相邻体，如0(磨头架)和1(砂轮主轴)通常误差只有两种：理想固定联接位姿(位置和姿态)误差和静止位姿误差；而作相对运动的两相邻体之间，如3(Y轴)和4 (W轴) ，除了具备上述两种误差外，因为其存在运动初始时的相对静止和此后的相对运动两种状态，所以还有理想运动位姿以及运动误差引起的运动位姿误差[11]。这就说明两个相邻体的运动关系可以用4×4个特征矩阵描述，静止位姿矩阵Tijp、静止位姿误差矩阵ΔTijp、运动位姿矩阵Tijs和运动位姿误差矩阵ΔTijs。

2 砂轮修整系统误差模型建立

分别对系统分支一和分支二相邻体的变换矩阵进行分析：

砂轮主轴S1与磨头架B0之间的静止位姿矩阵、静止位姿误差矩阵、运动位姿矩阵、运动位姿误差矩阵为：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中的θ1px、θ1py、θ1pz和τ1px、τ1py、τ1pz分别表示相邻体相对位姿的三个角误差和三个线误差；φ1表示砂轮主轴体坐标系绕Y轴的旋转角度。

砂轮主轴S1与刀具(砂轮)B2之间的静止位姿矩阵、静止位姿误差矩阵、运动位姿矩阵、运动位姿误差矩阵为：

(5)

ΔT12P=I4×4T12S=I4×4ΔT12S=I4×4

(6)

Y轴B3与磨头架B0之间的静止位姿矩阵、静止位姿误差矩阵、运动位姿矩阵、运动位姿误差矩阵为：

T03P=I4×4ΔT03P=I4×4

(7)

(8)

(9)

式中的θ3sx、θ3sy、θ3sz和τ3sx、τ3sy、τ3sz分别表示相邻体相对位姿的三个角误差和三个线误差；

W轴B4与Y轴B3之间的静止位姿矩阵、静止位姿误差矩阵、运动位姿矩阵、运动位姿误差矩阵为：

T34P=I4×4

(10)

(11)

(12)

(13)

金刚石滚轮主轴S2与W轴B4之间的静止位姿矩阵、静止位姿误差矩阵、运动位姿矩阵、运动位姿误差矩阵为：

(14)

T45P=I4×4

(15)

(16)

(17)

金刚石滚轮B6与金刚石滚轮主轴S2之间的静止位姿矩阵、静止位姿误差矩阵、运动位姿矩阵、运动位姿误差矩阵为：

(18)

ΔT56P=I4×4T56S=I4×4ΔT56S=I4×4

(19)

假设金刚滚轮磨削点在金刚滚轮体坐标系内的坐标为Pr=[PrxPryPrz1]T，砂轮磨削点在刀具体坐标系内的坐标为Pw=[PwxPwyPwz1]T。

因为在砂轮修整过程中，金刚滚轮和砂轮始终啮合，理想状态，两个磨削点在机床坐标系下的位置重合，则有:

T01pT01sT12pT12sPw=T03pT03sT34pT34sT45pT45sT56pT56sPr

(20)

在砂轮修整运动中，金刚滚轮磨削点的实际位置会偏离理想位置，产生空间位置误差和姿态偏差。金刚滚轮磨削点的综合空间误差为：

E=TwPw-TrPr

(21)

其中：

Tw=T01pT01sΔT01pΔT01sT12pT12sΔT12pΔT12s

Tr=T03pT03sΔT03pΔT03sT34pT34sΔT34pΔT34s·
T45pT45sΔT45pΔT45sT56pT56sΔT56pΔT56s

由此表明，砂轮坐标系中的砂轮磨削点可通过相应的金刚滚轮上的任意磨削点求得，如果求解出系列砂轮磨削点，根据包络理论，可得到修整后砂轮的齿面形状。与理想情况下齿廓形状对比，便可计算出磨齿机的砂轮修整误差。

将类似的误差建模过程应用于齿轮磨削系统中，便可完成对整个磨齿机整机的几何误差建模，为后续的几何误差补偿做准备。

3 误差补偿方案

在进行几何误差补偿前，首先采用激光干涉仪进行单项几何误差测量，计算出数控磨齿机各个轴的基础误差项，再将所有轴的基础误差带入前面给出的相应系统的几何误差表达式中，就能计算出误差量。

SKMC-3000/20成形磨齿机使用的是西门子数控系统，在磨齿机上可通过修正NC程序来实现几何误差补偿功能。

修正NC程序补偿方案是在既有的NC程序中各轴的位置命令上附加一个补偿指令，使其在原有坐标位置的基础上移动一个补偿量，到达符合精度要求的实际位置，从而优化齿轮磨削的廓形精度。该补偿方法原理如图3所示。

图3 砂轮修整系统误差补偿方案

4 磨削试验

对于建立的误差模型及补偿方法需要进行试验验证，图4为磨削加工的试验现场，选取如表2所示的齿轮进行磨削试验。磨削完成之后，取齿圈均布的四个位置在三坐标测量仪上进行左右齿面齿廓精度检测，得到初始齿廓精度如图5所示。之后将修改后的NC程序导入磨齿机数控系统中，运行加工程序，图6为补偿后的齿廓检测报告。结果显示：齿廓补偿前该磨齿机的设计精度为6级，补偿后，齿廓的总体精度提高到3级。

表2 齿轮的基本参数

图4 磨削加工实验现场

图5 补偿前齿廓精度

图6 补偿后齿廓精度

5 结论

本文分析了砂轮修整过程中的误差传递关系，基于多体运动学理论建立了SKMC-3000/20型数控成形磨齿机砂轮修整系统的几何误差模型。提出一种综合误差补偿方案，最后通过磨削试验验证了模型的正确性和补偿方案的可行性，为成形磨齿机的设计制造和误差修正提供了借鉴。

[1] 王立鼎，凌四营，马勇，等. 精密、超精密圆柱渐开线齿轮的加工方法[J]. 光学精密工程，2009，17(2)：321-326.

[2] 休斯敦， R L，刘又午. 多体系统动力学(上、下册)[M]. 天津:天津大学出版社，1987/1991.

[3] 粟时平，李圣怡. 五轴数控机床综合空间误差的多体系统运动学建模[J].组合机床与自动化加工技术，2003(5)：15-18.

[4] Jung J H, Choi J P, Lee S J. Machining accuracy enhancement by compensating for volumetric errors of a machine tool and on-machine measurement[J]. Journal of Materials Processing Technology, 2006, 174(1-3):56-66.

[5] WangShuxin, YunJintian, ZhangZhifei, et al. Modeling and compensation technique for the geometric errors of five-axis CNC machine tools[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2003, 16(2):197-201.

[6] 任永强，杨建国，窦小龙，等. 五轴数控机床综合误差建模分析[J]. 上海交通大学学报，2003，37(1)：70-75.

[7] 刘又午，刘丽冰. 数控机床误差补偿技术研究[J].中国机械工程，1998,9(12)：48-52.

[8] 韩江，杨清艳，张魁榜，等. 数控成形砂轮磨齿机床几何误差建模与补偿[J]. 合肥工业大学学报(自然科学版)，2012，35(12)：1585-1588.

[9] 任永强，杨建国，窦小龙，等. 五轴数控机床综合误差建模分析[J]. 上海交通大学学报，2003，37(1)：70-75.

[10] 何坤. 基于多体系统运动学的数控磨齿机几何误差建模及补偿研究[D]. 重庆:重庆大学，2013.

[11] 李光东，樊利君，陈光胜，等. 一种成形砂轮磨齿机的几何误差建模与补偿研究[J]. 机床与液压，2012，40(1)：7-9.