集合悖论再议

□杨红梅

(山西广播电视大学,山西 太原 030027)

19世纪70年代,数学家康托尔(德国,1845-1918)发表了一篇关于无穷集合理论的第一篇革命性的论文,标志着《集合论》的创立。1900年,希尔伯特在国际数学家大会上说,“集合论是人类纯粹智力活动的最高成就之一”。然而,1903年，罗素(英国，1872-1970年)提出一个简明的集合悖论，打破了人们的希望，引发了数学基础新的争论和研究。1908年,策梅洛提出了7条公理组成的集合论体系,称为Z公理系统;1922年,弗兰克尔又加进一条公理,还把公理用符号逻辑表示出来,形成了集合论的ZF公理系统;再后来还有伯奈斯和哥德尔改进的ZFC公理系统。这些系统由于严格规定了一个集合存在的条件,避免产生悖论的集合存在,初步完成了由朴素集合论(康托儿提出的集合论)到公理集合论的发展过程。

1965年,在康托尔创立的经典集合论的基础上,美国控制论专家扎德(L.A Zadeh)教授发表了《模糊集合》(《Fuzzy Sets》)论文,标志着模糊数学的诞生。模糊数学打破了集合的三个特性之一的确定性,是描述和处理“亦此亦彼”的模糊不确定性的数学分支,也是集合理论的拓展。

1989年,我国学者赵克勤先生经过近30年对集合论、系统科学等学科的潜心研究和思考,提出集对分析(Set Pair Analysis,简称SPA)理论。SPA是系统科学与数学深度融合的新的交叉学科,是研究不确定性理论的一种新的系统分析方法;它不是仅仅靠计算得到的数去说明问题,而是还要靠对“数的构成”去分析并寻找问题的根源;它是研究、分析和处理由模糊、随机、灰色等现象所导致的不确定性的数学分支;它也是集合理论的提升和发展。

危机意味着挑战。无论是公理集合论,还是模糊数学,亦或是SPA理论,数学家们就此展开了激烈的争论,都在为研究和完善集合论做着不懈探索。悖论的破译过程产生许多新的重要成果,也促进了数学的大发展。

一、集合悖论引发的争论

数学史上的三次危机都与“无穷”有关。每次数学危机之后,都是数学的基础部分受到质疑。

第一次数学危机发生在公元前580～568年之间的古希腊,当时人们对有理数的认识还很有限,对于无理数的概念更是一无所知,毕达哥拉斯学派所说的数,是指整数或两个整数之比,他们认为,宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。直到发现无理数,建立实数理论才宣告危机解除,这期间经历了两千多年的时间。

第二次数学危机发生在17世纪微积分诞生后,由于微积分的理论基础不够完善,数学界出现了混乱局面。微积分的形成给数学界带来了革命性的变化,在各个科学领域得到广泛应用,但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念之一。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中,第一步用了无穷小量作分母进行除法,当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零,去掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的,但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。正所谓是用错误的方法得到正确的结果。此后,贝克莱提出质疑(贝克莱悖论):无穷小量是零还是非零?如果是零,怎么能用它做除数?如果不是零,又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢?直到19世纪,柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量,至此柯西澄清了无穷小的概念,第二次数学危机基本解决。这期间经历了200多年的时间。

第三次数学危机发生在19世纪末和20世纪初。19世纪70年代德国数学家康托尔提出集合理论。它的问世引起了数学界的巨大震动,同时也遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论的基础上”,这一发现使数学家们为之陶醉。

然而,英国数学家罗素打破了这种局面。他提出了著名的集合悖论(罗素悖论),也可通俗地表述为理发师悖论:村上有一个理发师贴出公告,宣称他为所有不为自己理发的人理发。这公告看上去没有逻辑问题,但理发师的头发该由谁理?他给自己理与不理发都有矛盾。集合论是有漏洞的,这让数学界很震惊,也让很多数学家很沮丧,甚至这个问题逼疯了集合论的创立者康托儿。还有德国著名的逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时,收到罗素关于这一悖论的信。他发现自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。于是,他只能在自己著作的末尾写道:“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

危机出现后,包括罗素本人在内的许多数学家们做了巨大的努力来消除悖论。当时,消除悖论的方法有两种,一种是抛弃集合论,再寻找新的理论基础,另一种是分析悖论产生的原因,改造集合论,探讨消除悖论的可能。

二、破解集合悖论所产生的新成果

数学家们选择破解、改造集合悖论。在数学家们和学者们的努力之下,在康托儿的朴素集合理论的基础上形成了很多数学分支。

(一)ZFC公理化集合论。罗素悖论提出后,数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立新的原则。这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。解决这一悖论主要有两种选择,ZFC公理系统和NBG公理系统。

策梅洛在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理化系统在通过弗兰克尔的改进后被称为ZF公理系统,还有被伯奈斯和哥德尔改进的ZFC公理系统。

除ZFC系统外,集合论的公理系统还有多种,如冯·诺伊曼等人提出的NBG系统等。

(二)模糊集合理论。集合论中集合元素有三个特征,即确定性、互异性和无序性。模糊集合理论是对集合概念中元素确定性的挑战。

Zadeh教授提出的模糊集理论,试图突破经典集合论中元素的确定性特征,去创建一种新的数学理论去研究一大类模糊系统,但人们很快发现,Zadeh的模糊集理论在本质上仍然以经典集合论为基础,在用隶属度刻画系统的模糊性时丢掉了真正的模糊信息。

(三)集对分析理论。集对分析是在系统科学、集合理论等学科基础上发展起来的新的数学分支。

系统是事物存在的一种方式,系统普遍存在。但由于人们对客观事物认识的阶段性限制,直到20世纪20年代,才由奥地利生物学家贝塔朗菲建立了一般系统论的理论框架;几乎同时,英国军事部门的科学家和工程师用系统的思想研究和解决雷达系统在应用中遇到的问题,使得对系统的研究延伸到工程技术层次;之后,美国研制原子弹的曼哈顿工程,阿波罗登月工程,都应用系统原理,成为系统科学与工程取得巨大成功的范例。至今,系统科学与系统工程技术被广泛应用于社会、经济、政治、军事、外交、文化教育、生态环境、医疗保健、行政管理等众多部门,取得众多令人满意的成果。

20世纪80年代以来,人们陆续发现一大类自然系统与社会经济系统存在复杂性,特别是系统内在运行机制的复杂性,一个突出的例子是系统混沌现象的发现,使得对系统的科学研究进入到复杂性研究阶段。上世纪末,普利高津在非平衡统计物理研究中提出了耗散结构理论,把对复杂性与复杂系统的研究推到了一个新的水平,而不确定性是导致系统复杂性的一大因素。如今,不确定性、复杂性和复杂系统的概念涵盖了物理、生物、社会经济与工程、人文与教育等众多领域。系统科学着眼于对系统性质和演化行为具有不确定性规律的研究,已成为21世纪系统科学发展的一个重要方向。

在国内,系统科学的研究始于20世纪50年代推广应用的运筹学。70年代末,著名科学家钱学森等专家学者提出利用系统思想把运筹学和管理科学统一起来,推动了系统科学在社会经济和科学技术各个方面的广泛应用。中国科学院在上世纪把所属的数学研究所与系统科学研究所合并组建为数学与系统科学研究院,成为我国数学与系统科学研究的中坚力量。最近几年,人工智能和量子通讯又大踏步进入人们的视野,中国科学家在人工智能和量子科学方面的研究已走在世界前列,但这两者也与系统不确定性的研究有关。

至于经典的处理不确定性的概率统计理论,其公理化体系也完全建立在集合论的基础上,但集合论存在“罗素悖论”“说谎者悖论”等多种悖论,哥德尔不完全性定理证明了含有算术运算的系统都是不完备系统,说明了对于系统的研究无法避开不确定性的困扰。

赵克勤提出的经过多年思考的集对分析理论,是把有一定联系的两个集合组成一个对子(集对)加以研究,对组成集对的两个集合在给定问题背景下的全部关系分为确定性关系和不确定性关系两类,对这两类关系占所论两个集合总关系的比例用一个满足归一化的二元联系数表示,实现了对复杂系统中确定性关系与不确定性关系对立统一的整体定量刻画和系统描述,从而突破了经典集合论的理论束缚。经由二元联系数扩展而来的三元、四元、五元直至无穷多元联系数,把人们对不确定性与确定性关系的辩证认识转换成具体的数学工具,可以在不同的空间尺度上刻画系统中确定性与不确定性的相互联系,联系数也因此成为集对的特征函数。如今,集对分析及其联系数已在载人航天数据快速评估、气象预报和水文水资源、计算机与人工智能、安全与非传统安全、管理与决策、教育与卫生统计等领域得到广泛应用,在中国知网上用关键词集对分析检索有2000多篇中文文献,100多篇英文文献,其中有中国工程院院士、天津大学校长钟登华为第一作者的《基于改进集对分析方法的高心墙堆石坝填筑工期仿真及风险评价》(水力发电学报2015年第3期第137-144页)。从系统的角度看,集对分析能得到广泛应用的一个原因是集对分析对所研究的系统问题中的不确定性,“客观承认、系统描述、定量刻画、具体分析”,实质是把一个系统的确定性关系与不确定性关系作为这个系统的子系统处理。从数学基础看,集对分析不仅对集合论的罗素悖论作了合理的解读(同时用一个确定的集合和不确定的集合(组成集对)去描述理发师要服务的全体对象),为罗素悖论建立了一个合理的数学模型;还借助联系数,把经典概率论和模糊集理论统一起来;又通过联系数的伴随函数偏联系数,刻画系统在微观层次上的矛盾运动。

集合是处理元素与集合的关系,集对是处理集合与集合的关系,因此,集对分析比集合理论更为复杂。集对分析理论对罗素悖论采取集对解读方式,在破解悖论方面很实用。

三、集对分析与微积分交叉结合的前景

微积分的建立给17世纪的数学界带来了巨大的繁荣，是数学史上初等数学与高等数学的分水岭和转折点。也是高等数学基础学科。集对分析是一门新兴的交叉学科逐渐被人们所认识。

集对分析中偏联系数刻画的系统微观层次上的矛盾运动趋势(“见微知著”)与同一系统在宏观层次上的运动规律(“宏观观控”)的关系与协调机制研究处于国际国内领先水平。

集对分析是从系统的角度考虑问题,经典微积分是从运动的角度考虑问题。如何从微观结构的演化趋势与系统宏观状态的相互作用机制进行研究;如何定量刻画系统微观结构演化阶段性趋势和结局的联系数模型和联系数算法;如何从系统微观结构优化与系统整体状态优化的关系,包括协同关系、变异关系和对立关系(简称同异反关系)出发;如何就基于集对分析联系数的系统微观运动趋势建模及算法与经典微积分中刻画物体宏观运动的微积分建立联系,构建系统的“状态-趋势模型”。再将其成果推广应用,这将会产生更多研究成果。

四、结论

实践证明,集合悖论引发的第三次数学危机,促进了数学的大发展。

(一)ZFC公理化集合理论为排除出现悖论，对构成集合的元素附加了严格的条件，把有可能产生悖论的元素先排除，不让其进入集合，就如罗素理发师悖论中，理发师自己是在“所有不为自己理发的人”之外的人。此理论也可认为是消极地躲避矛盾。

(二)打破集合中元素的确定性特征催生了模糊数学的创立与发展。模糊数学的本质思想是隶属度思想，它是在集合论的基础上将不确定性转化为确定性问题来处理。

(三)数学本性是要把得到的概念、方法和结论，推广到所有、全体、无穷，从这个意义上说，ZFC有违这一本性。模糊数学本质上仍然是以经典集合论为基础，在用隶属度刻画系统的模糊性时丢掉了真正的模糊信息。集对分析认为确定性与不确定性是个对立统一体，立足于“所有、全体、无穷”，就要对不确定性“客观承认、系统描述、定量刻画、具体分析”，既符合数学本性，也符合事实，也不会出现所谓的悖论，因此为数学的发展展示出一个新天地。