基于支架式教学的“任意角”教学案例及反思

江苏省苏州工业园区第二高级中学 (215121) 南爱玲

三角函数是苏教版必修4第一章的内容，江苏省普通高中数学课程标准中对这一章的要求是“通过三角函数的教学，使学生逐步理解三角函数的概念及基本性质；认识三角函数与实际生活的紧密联系；体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用.”而“任意角”是本章的第一节内容，通过本节课的学习能够了解任意角的概念，理解终边相同的角的意义，为后续三角函数的学习做好准备，在本章内容中占有基础性的地位.

建构主义理论的核心是以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构.教师在实施教学活动的过程中，应该以学生为主体，教师为主导，激发学生的学习热情，让学生自主探究合作，注重概念的生成过程.支架式教学法是基于建构主义学习理论提出的一种以学习者为中心，以培养学生的问题解决能力和自主学习能力为目标的教学法.该教学法是指一步一步地为学生的学习提供适当的、小步调的线索或提示(支架)，让学生通过这些支架一步一步的攀升，逐渐发现和解决学习中的问题，掌握所要学习的知识，提高问题解决能力，成长为一个独立的学习者.

支架式教学由以下几个环节组成：(1)搭脚手架；(2)进入情境；(3)独立探索；(4)协作学习；(5)效果评价.本节课按照支架式教学流程设计，形成概念时，从日常生活中的时钟快慢问题引入，设置熟悉的问题情境，使学生对已有关于角的知识产生认知冲突，引出角的动态定义，同时强化了这一概念引入的必要性和现实意义；在终边相同的角的集合的书写中，采用学生协作学习交流的形式，让学生自己探索发现其规律，学生体验发现的乐趣，获得了成功的情感体验.在数学应用中，学生更加主动热情的“学以致用”，源于他们获得了一种被鼓舞和信任的情感体验，在这种状态下学生的学习更加高效.下面是笔者的课堂教学实录以及课后的一些思考.

一、课堂实录

(一) 创设情境 导入课题

师拿出一面钟，第一节课是一点半，但是钟面显示的是一点二十五分.

师问：慢了5分钟，怎么校准？

生答：顺时针旋转5分钟.

再问：校准后分针转了多少度？

稍加思索，学生就答出来：30°.(板书：顺时针旋转30°.)

师问：如果我现在要把时间调到12点整，怎么办？分针又转了多少度？

生答：逆时针转1圈半，转了360°又转了180°，好像是540°.(说到540°的时候，学生的声音明显小了不少，带着一种不确定和怀疑)

师：根据我们初中的知识，最大的角是周角，360°，这里怎么会有540°呢？540°是什么意思呢？这就是我们本节课要研究的内容—任意角(板书：任意角)，通过本节课的学习，我们不仅知道有540°的角，还有更大的角，甚至还有负角.

设计意图：数学课程标准中指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境......”，本节课通过生活中学生非常熟悉的时钟引入，为角的动态定义埋下伏笔.第一小问让学生明确顺时针，逆时针方向；第二小问逆时针旋转一圈半得到540°，在学生中形成认知冲突，激发学生的学习热情，带着疑问上课.

(二)推陈出新 形成新知

师：首先请同学们回忆一下，初中我们学习的角是如何定义的？

生：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，

师：根据这个定义如何来表示540°的角呢？

(顿了一下，学生纷纷摇头)：不好表示.

师：这个定义已经out了，因为它只关注结果，而我们不仅要关注结果还要关注过程.根据刚才的例子我们对角重新进行定义：(板书：1.角的定义)平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.以O为顶点的射线OA，旋转到OB形成角α，这样角就动起来了.其中O叫角α的顶点，OA叫角α的始边，OB叫角α的终边.

师：既然角是旋转形成的，在刚才调整时钟的过程中，有顺时针调整和逆时针调整，这种相反的量我们以前碰到过吗？

生齐答：有，正数和负数！

师：我们类比实数的正负，规定：逆时针形成的是正角，顺时针形成的是负角，不作旋转的是零角.(板书：2.角的分类)回到时钟快慢的问题:顺时针就是-30°，逆时针就是+540°.

设计意图：有了前面的问题情境，角的动态定义就很自然地引了出来，根据定义再完善问题情境中的顺时针30°和逆时针540°，前后呼应，进一步强化对角的概念的理解.苏联心理学家维果斯基认为，学生有两种发展水平：一是学生的现有水平，二是即将达到的水平，表现为“学生还不能独立地完成任务”，这两种水平之间的距离，就是“最近发展区”.学生对静态的角已经有了一定的认识，而现在形成了新的概念，让角“动”起来了.

师：好，现在请问你脑海中最大的角是多少？最小的角又是多少？

生迟疑片刻，答：角可以无限大，也可以无限小.

师：(以时钟展示)以时钟的中心和3点位置所在射线为始边，分针不做旋转时是零度，逆时针开始旋转角为正，慢慢变大，逆时针转一圈回到始边是360°，继续转下去角变大.如果从初始位置顺时针旋转角为负，慢慢变小，顺时针转一圈回到始边是-360°.继续转下去角变小.在这个定义之下我们就将角推广到了任意角.

设计意图：这一过程展示笔者认为必不可少，是本节课的第一个重点，让学生弄清楚角是如何从他们熟知的几个具体的角推广到任意角的，对角的动态概念有了进一步的理解.

(学生活动)请两位同学板演：画一个30°的角，其他同学自己在纸上画.

点评：他们画的角都是30°，但是因为始边不同，所以这个角的位置就各不相同.为了便于研究，我们利用平面直角坐标系以x轴非负半轴为始边，终边落在第几象限就叫第几象限角.(板书：3.象限角)笔者建立了平面直角坐标系，画了60°和-30°两个角，并让学生判断这两个角是第几象限角.

师：在这样的规定下，角的终边位置还有其他可能吗？

(补充终边落在坐标轴上的角叫轴线角，画了0°，90°，180°和270°.)

概念辨析：(1) 锐角是第一象限角吗？

(2)第一象限角一定是锐角吗？

(3)小于360°且不等于0°的角一定是锐角吗？

设计意图：通过学生活动，画出各个不同位置的30°角，说明统一始边的必要性.此处介绍了0°到360°范围内的轴线角，为后面在0°到360°的范围内找终边相同的角并判断第几象限角作铺垫，同时刚学习了一个新的概念，教师画角给学生做一个示范，轴线角的补充让学生体会数学思维的严谨性，概念辨析进一步加深学生对角的概念的理解.

(三)合作探究 建构数学

(用PPT课件展示例1)

例1 ①如图(1)(2)中的角分别属于第几象限角？

②指出PPT中画出的角是多少度？

(略)

例2 在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．

(1)60°;(2)-150°;(3)210°;(4)420°;

(5)-60°;6)-300° .(学生画图，教师利用实物投影展示学生的作业，并点评)

小组合作探究：与60°终边相同的角有哪些？互相有什么关系？如何表示？

(交流讨论后)生答：与60°终边相同的角有420°，-300°.它们相差360°的倍数，逆时针转一圈加360°，转两圈加2个360°，顺时针转一圈减360°，转两圈减2个360°.

师问：这么多角能不能用一个式子来表示呢？

生：可以，60°+n·360°，n是整数，写成集合就是{β|β=60°+k·360°,k∈Z}，与-30°终边相同的角的集合{β|β=-30°+k·360°,k∈Z},与45°终边相同的角的集合{β|β=45°+k·360°,k∈Z}.

师：与α终边相同的角的集合如何呢？

生：{β|β=α+k·360°,k∈Z}.(板书)

师：恭喜你们，都会归纳推理了！请同学们思考，集合的书写有哪些需要注意的地方呢？

生：k∈Z这个条件不能漏写！

师：很好！这里的角α是任意角.请听题：终边相同的角一定相等(生齐答：不一定！)

相等的角终边一定相同(一定！)终边相同的角有无限个，它们的关系是？(相差360°的整数倍)

设计意图：例1认识角，对角的定义有一个感性认识；例2学生画角，从感性到理性，自己动手，印象深刻，加深对角的概念的理解，同时对终边相同的角有了切身体验，为后面的探究做好准备.终边相同的角的表示是本节课的又一重点，通过学生合作探究，发现终边相同的角之间的关系，探究的过程中体会发现的快乐.美国心理学研究表明，看一遍的收获是10%，听一遍是20%，而动手做一遍是90%，课堂是学生的学习阵地，培养学生的动手能力和探索发现的能力是数学教师的重要任务之一.

(四)习题巩固 学以致用

例3 写出与下列各角终边相同的角的集合，在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．

(1)-80°；(2)580°；(3)850°30′;

(4)-950°12′．

(利用实物背投展示学生作业并加以点评)

设计意图：例3是对终边相同的角的概念的进一步应用，能够熟练地判断角是第几象限角既是对本节课学习的知识的一个检测，也是后面三角函数符号判断的基础.

(五)课堂总结 提炼升华

师：好，请同学们思考并互相交流一下，一会儿请同学来对本节课进行一个小结.

生：这节课我们学习了任意角的概念，知道角是“动”的，是旋转形成的，逆时针旋转形成正角，顺时针形成负角.我们还学会了终边相同的角的表示，终边相同的角相差360°的整数倍.

师：嗯，总结的很到位.通过本节课的学习，我们了解任意角的概念，会写终边相同的角的集合.用到的主要数学思想方法：数形结合思想，类比法，归纳法等.

二、课后反思

支架式教学模式首先为学生创建有利于学生对所学内容的意义建构.在教学设计中，创设有利于学生建构意义的情境是最重要的环节或方面.任意角这一节，在知识目标上仅要求了解，按新课标的要求，要让学生亲自感知数学来源于生活，体验数学概念的形成过程.本节课情境引入从生活中常见的时钟快慢问题出发，为学生创建了良好的问题情境，从角的旋转量和旋转方向两个角度做好铺垫，有利于学生建构角的定义，迅速调动学生的思维，激起学生的学习热情.

支架式教学模式中强调学生的协作学习，在独立探索的基础上合作交流，探究新知.本节课的一个重点是终边相同的角的集合的书写，在这一环节，教师通过设置例题，让学生先画出角来感受终边相同，然后再合作交流，得出终边相同的角的集合的书写.通过适当的问题设置，在教师的引导提问下，通过学生自主探究，合作讨论，由学生自己总结得到这一结论，笔者认为这一过程中学生获得知识的同时也获得了成功的学习体验.而协作学习不仅体现在这一环节，而是渗透在整节课堂中，老师与学生的合作交流，学生与学生的合作交流，都反应了一种协作.

本节课在教师深刻理解教材的情况下，凸现学生自主探究，展现师生共同参与，互动对话，提升学生归纳总结的能力.以学生为中心，教师作为组织者，为学生提供有利于学生发展的问题情境，放手让学生探究新知.在探究过程中，学生体验发现的乐趣和成功的喜悦，激发了学习数学的热情，提升了数学思维能力，这不正是数学课堂所追求的吗？