构建朴实、简约、本真、灵动的数学课堂——“三角函数的周期性”教学的实践与思考

江苏省常熟市浒浦高级中学 (215512) 殷伟康

2016年12月常熟市高中课改展示活动在我校举行，笔者实践“构建朴实、简约、本真、灵动的数学课堂”常熟市高中数学教学理念，在高一年级开设了一节公开课《三角函数的周期性》，现将教学实践中的感悟与思考，与大家交流与分享.

一、创设情境，引入课题

情境1：一个学期有一百二十多天，为什么我们班的课程表却只列出了五天的课程？

生：因为从周一到周五，每周的课程都是一样的，所以没有必要列出每天的课程.

情境2：转动的摩天轮，任意一点P的位置转动一圈以后回到原来的位置.

问题1：你能举出我们生活中一些“周而复始”的例子吗?

生：每天太阳的升起与落下；春夏秋冬，四季交替出现；每周的星期一至星期日；地球的自转、公转，潮汐现象；钟表上时针、分针和秒针的转动；物理学中的单摆和弹簧振子的振动.

问题2：你能举出数学中某些现象“周而复始，重复出现”的例子吗?

设计意图：从学生最熟悉的课程表入手，可以自然地引出课题.通过生活中周期现象，概括出其本质特征——“周而复始”.这样的教学设计，既有助于实现从自然现象到数学现象的迁移，又有利于学生获取心理逻辑的自然.

二、学生活动，体验数学

问题3：我们以正弦函数为例，怎样解释这种周而复始的现象呢？

从形的角度看：当动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重复出现一次.同时还可以看到，当点P每旋转不到一周时，正弦线MP的即时位置包括变化方向不会重复.

问题4：若记f(x)=sinx，你能用数学语言描述正弦函数的这种特征吗？

从数的角度看：sin(x+2π)=sinx，sin(x+4π)=sinx，….

师：你能用一个类似于刻画函数的奇偶性的式子来描述正弦函数的这种特征的呢？

生：f(x+2π)=f(x)，f(x+4π)=f(x)，….

问题5：观察上述等式，你能发现什么规律？

师生共同提炼得出：从数的角度看来解释上述等式，这组公式表明：对定义域中的任意x而言，每增加2π，x+2π与x的同名三角函数值相等．也就是说，当自变量x增加2π时，相应的三角函数值重复出现．

问题6：把上述等式推广成函数的一般形式是怎样的？

师：很好！那如果把这个结论再推广到一般化，比如每个间隔不是2π，而是一般的实常数T，那这个实常数T有什么要求吗？上述对应的等式又是怎样的呢？

生：实常数要求非零，否则就没有研究的价值．一般化的式子是f(x+T)=f(x).

如何解释上述等式？进一步提炼，可以得到“自变量x每间隔相同的一个非零常数T，函数y=f(x)的值就会重复出现”是上述问题的共同特征，也就是函数的一种本质属性即周期性.

一般地，我们把具有这种周而复始的性质称之为三角函数具有周期性，这就是这一堂课我们所要研究的———(三角)函数的周期性．

设计意图：引导学生先从熟悉直观的“形”去观察，又运用抽象的“数”来刻画正弦函数线“周而复始”现象.让学生从数和形的角度去体会“x每增加一定值，函数值重复出现”中的“一定值”和“函数值重复”的含义，以加深对三角函数周期的本质理解，同时也为抽象周期函数的定义的获得做好铺垫.这样的教学设计，有利于学生从本质上主动构建周期函数概念.

三、本真探究，建构数学

问题7：你能够从数和形的角度去理解周期T吗？

从数的角度看：T满足f(x+T)=f(x)，T是自变量的改变量，即对x而言,每增加T，f(x)的值就重复出现；从形的角度看：它们的图像应该是“周而复始”、“循环重复”出现，T就是一个循环的长度．

例1 判断下列语句的真假：

(2)sin(x+0)=sinx,所以0是y=sinx的周期；

(3)sin(x+4π)=sinx，所以4π是y=sinx的周期；

问题8：怎样说明(证明)一个函数不是以T为周期的函数？

生：存在定义域内的一个值x0，使得f(x0+T)≠f(x0)，则T一定不是函数f(x)的周期．

问题9：2π是正弦函数的周期，根据周期定义，还能找到类似的周期吗？一个周期函数的周期有多少？

由诱导公式可知sin(x+2kπ)=sinx，正弦函数f(x)=sinx是周期函数，其周期为2kπ(k∈Z且k≠0).

问题10：余弦函数f(x)=cosx和正切函数g(x)=tanx也是周期函数吗？若是，请找出它们的周期；若不是，请说明理由.

生：由诱导公式可知：cos(x+2kπ)=cosx，余弦函数f(x)=cosx也是周期函数，其周期为2kπ(k∈Z且k≠0)；由诱导公式可知tan(x+kπ)=tanx，正切函数g(x)=tanx也是周期函数，其周期为kπ(k∈Z且k≠0).

问题11：一个周期函数的周期有无数个，这样计算三角函数周期时，答案就不唯一了，怎么办？

生：正弦函数f(x)=sinx、余弦函数f(x)=cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π．从三角函数线看，终边至少要转1圈才能回到原来的位置，正弦线、余弦线才重复出现.

而g(x)=tanx的周期为kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期都是π。终边只要转半圈，正切线就重复出现了.

师：很好．关于正弦函数的周期是2π的严谨证明，同学们可以课后去看书后的链接内容，并仿照其尝试证明余弦函数与正切函数的周期.

(2)最小正周期

对于一个函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期．

说明：我们所说的周期，今后如果不加特别说明，一般都指函数的最小正周期．

生(提问)：周期函数是否有最大负周期？

经过探究、讨论，发现有些周期函数有最大负周期，有些周期函数没有最大负周期.

设计意图：概念辨析的目的是更深刻地理解数学概念的本质属性，属于数学概念建构的一部分.通过正、反例的辨析，澄清学生对函数周期性概念的一些模糊甚至错误认识，强化学生对周期概念的本质属性的理解.有意识地引导学生从数与形的角度去理解和构建最小正周期的概念.

四、数学运用，深化概念

图8

例2 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．

(1)求该函数的周期；

(2)求t=10s时钟摆的高度．

组织学生围绕以下问题展开讨论：

(师生共同讨论，完成解答)

师：这个图给你的直觉是什么？根据这个图你能得到哪些信息？

生：我觉得这是一个周期函数的图像.根据图像，可以得出这个函数的周期，还有一些函数值.

师：周期函数的图像具有什么特征？

生：(1)由图像可知，该函数的周期为1.5s；

师：周期性的用途是什么？你觉得由你读出的信息，还可以继续得到些什么？能否根据周期性找到t=10s时钟摆的高度？

生：(2)设h=f(t)，由函数f(t)的周期为1.5s，可知f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20，

所以t=10s时钟摆的高度20mm．

师：如果知道了一个函数是周期函数，那么要研究整个定义域上的性质，就只要研究一个周期上的性质．用类比的方法，可知由一个周期上的性质就可以推知其它周期上的性质．

例3 求下列函数的周期：

师：如何求函数的周期？(大家觉得求函数周期的依据是什么？)

生：周期函数的定义．

解析：(1)设f(x)的周期为T，则f(x+T)=f(x)，即cos(2x+2T)=cos2x对任意x∈R都成立，令μ=2x，即cos(μ+2T)=cosμ对任意μ∈R都成立.而y=cosμ的周期为2π，可知使得cos(μ+2T)=cosμ对任意μ∈R都成立的2T的最小正周期2π，可知2T=2π，即T=π，函数f(x)=cos2x的周期是π．

师：非常漂亮，从公式、定义入手，轻松求解.仅学会模仿求解还是不够的，你能命制一道或几道类似试题吗？同桌的两人互相合作，一人命题一人解答，如何？(课堂气氛异常活跃)

设计意图：如令μ=2x，将余弦函数f(x)=cos2x的周期问题化归为余弦函数y=cosμ的周期问题，即实现了将需要解决的新问题化归为已解决问题的目的.这样的探究，不仅有利于学生加深对周期函数概念的理解，而且有利于学生学会如何运用函数周期概念解题.

通过观察例3的2道小题、例4及同学们自主编写试题的结果，引导学生归纳出：

设计意图：通过“问题链”的形式的探究，由特殊到一般，归纳出一般化的结论.引导学生参与自主编题、解题，培养学生的创造性思维.

五、回顾反思，归纳提炼

问题16：这节课我们主要探讨的内容是什么？我们可以总结出什么内容？

周期函数的定义和最小周期的定义；周期的求法；周期的求解过程中体会到了哪些方法？特殊到一般、数形结合、换元法、转化与化归等思想方法.

师：通过对周期函数的研究发现，只要研究它在一个周期段上的性质，就可以知道整个定义域上的性质了，从个体到全体，从有限到无限，体现了数学研究的巨大魅力和威力，也证实了研究周期函数的巨大价值.

设计意图：通过问题启发式进行小结，对所学内容再思考，能起到再现、整合和提炼的作用.让学生理清知识体系，揭示其中的数学思想方法、本质规律，内化为学生素质，同时让学生感受到数学研究的价值.

六、教学反思，探究本真

1．顺应学生的认知规律，让数学概念教学更自然

人教A版教科书在“主编寄语”中写道：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成过程、它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味.”周期现象在自然界中比比皆是，如每年四季更替，潮起与潮落等，让学生充分感知生活中存在大量周期现象，并从中抽象概括出其本质特征——“周而复始”.“我们以正弦函数为例，怎样解释这种周而复始的现象呢？”便引导学生自然地进入数学领域.随着单位圆中正弦线随角的变化，直观地感知“每间隔2π个单位，角的终边重合，正弦函数值重复再现”.引导学生从数和形角度进行分析，发现角每增加2π时，就会出现角的终边的重合(形的直观)，正弦函数值相等(数的定量刻画)，这为探究周期函数概念的形成获取了逻辑起点.这样的探究过程，体现了生活现象与数学知识自然结合.其中，用自然现象和数学实例作为“周期”的意象表征，让学生感受用数学术语刻画这些现象的必要性，这样的探究显得朴素自然，更符合学生的认知规律.诱导学生从sin(x+2π)=sinx，sin(x+4π)=sinx，…，到f(x+2π)=f(x)，f(x+4π)=f(x)，…，再到f(x+T)=f(x)，形成一个逐级逐步抽象、概括的过程.在这个过程中，周期函数的概念生成是自然的.

2．创设本真的简约课堂，让学生探究体验更真实

朴素的才是自然的，真实的才是永恒的.在数学概念的教学过程中，教师要把实验与观察，比较与类比，分析与综合，具体与抽象，特殊与一般，猜想与证明等探究的思维活动真切地还给学生，让学生体验数学概念学习就是把一些特定的数学对象通过去粗取精、去伪存真的思维加工过程，通过“朴素直观”到“精致抽象”的过程.对于例题3第(1)小题，由条件和目标联系到周期函数的定义，即寻找非零常数T，使得cos2(x+T)=cos2x对任意x∈R都成立，再利用变量代换，从而问题得以解决.再引导学生，进行变式拓展研究，并归纳总结出一般周期函数的周期公式.这样的教学设计更多考虑学生参与探究活动，让学生经历由正弦函数线的变化规律归纳出周期函数概念的过程，体验从特殊到一般再到特殊的探究过程，从而感受研究函数性质的一般方法.这种追求具有本质意义的数学探究活动，使数学探究活动教学“形似”真正走向“神似”，凸现其本质，让探究教学回归到它的本真之地.

3．揭示数学的本质特征，让学生的思维更灵动

数学本质就是用数学的眼光认识世界，揭示数学规律，总结数学方法，形成数学思想.其内涵一般包括：数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神的体验等方面.从周期性的提出、周期函数概念的形成、周期函数的建立到三角函数周期的计算，每一个内容的形成过程中，学生都在自觉运用数形结合、换元法、转化与化归等数学思想方法，同时又产生新的数学思想方法，正是在运用这些数学思想方法去解决问题的过程中，学生才真正感悟、理解数学思想方法的内涵.通过数形结合、抽象概括出周期函数概念后，引领学生构建刻画三角函数周期性的特征，促使学生思维深层参与.并进行正、反例的辨析，引导学生对概念进行理性思考，让学生思维走向深入，从而把握周期函数概念的本质属性，获得对概念的本质理解.在构建最小正周期的过程中，学生思维很活跃，能够类比地提出“周期函数是否有最大负周期？”，这是难能可贵的，有利于培养学生质疑、批判等理性思维.在研究例题3和例题4过程中，引导学生运用整体换元方法，将比较复杂、陌生的问题转化成熟悉的问题加以解决.由特殊到一般，归纳出一般性的规律和结论.教师要准确把握知识背后所蕴含的数学思想方法，把握学生思维发展水平和学习过程中面临的思维障碍，引导学生自然地突破难点，让学生在探究中逐步提升数学素养.

著名特级教师吴锷认为：遵循教学规律，从学生认知特点出发，顺应学生思想意识，通过数学活动，获得经验积累，自我构建数学知识，拓展空间，让探究成为习惯，让学生的思维更灵动，是一节朴实、厚重、灵动的本真课堂．

[1]钮兆岭.让概念教学变得更自然些——“三角函数的周期性”案例分析[J]．中国数学教育,2011(5)：13-15，35．

[2]杜芬.“三角函数的周期性”教学实录与反思[J]．上海中学数学,2015(9)：33-35，37．