时间测度链上二阶Emden-Fowler型动态方程的振动性

杨甲山, 覃桂茳

(梧州学院 信息与电子工程学院, 复杂系统仿真与智能计算实验室, 广西 梧州 543002)

0 引 言

考虑时间测度链上一类广泛的具有阻尼项和非线性中立项的二阶非线性变时滞Emden-Fowler型动态方程:

[A(t)φ1(yΔ(t))]Δ+b(t)φ1(yΔ(t))+P(t)F(φ2(x(δ(t))))=0,t∈T

(1)

(H2) 0≤B(t)<1,b(t)≥0,P(t)>0;

(H3) 当u≠0时g(u)/u≤η,F(u)/u≥L(这里0<η≤1和L>0均为常数);

(H4)A(t)>0,AΔ(t)≥0且-b/A∈+.

方程(1)的解及其振动性的定义可参见文献[1]. 本文考虑方程(1)的解x(t)当t→+∞时的性质, 所以假设时间测度链 T是无界的： sup T=+∞. 设t0∈T且t0>0, 则[t0,+∞)T=[t0,+∞)∩T是时间测度链区间. 本文只关注方程(1)的不最终恒为零的解.

目前, 关于时间测度链上动态方程的振动性研究已有很多成果[1-15], 而关于方程(1)特殊情形的振动性研究也已有很多结果[2-15], 如: Grace等[2]和Hassan[3]研究了时间测度链上一类拟线性动态方程

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+q(t)xγ(t)=0

的振动性, 在条件

(2)

下得到了该方程振动的一些判别准则. Erbe等[4]利用时间测度链上的理论和Riccati变换技术研究了具阻尼项的二阶非线性动态方程

[r(t)(xΔ(t))γ]Δ+p(t)(xΔσ(t))γ+q(t)f(x(τ(t)))=0

的振动性, 在条件

(3)

成立下得到了该方程的一些振动准则, 推广并改进了已有的一些结果, 这里

张全信等[5-7]利用时间测度链上的理论和Riccati变换技术研究了具阻尼项的二阶拟线性动态方程

的振动性, 在条件

(4)

和

(5)

成立时得到了该方程振动的一些充分条件, 推广并改进了一些已有的结果, 这里

(6)

对二阶Euler微分方程

(t2x′(t))′+q0x(t)=0,

(7)

文献[1]在条件

(8)

成立的情况下研究了方程(1)的振动性, 获得了方程(1)振动的若干准则, 推广并改进了已有的相应结果. 本文考虑当条件(8)不成立, 而条件(4)成立时方程(1)的振动准则, 改进对方程的限制条件(如文献[5-7]中的限制条件“δ(T)=T”； 文献[8]中的限制条件“τ=δ,δ严格递增且τ∘σ=σ∘τ”等), 所得结果推广并改进了一些已有的结论.

1 方程振动的充分条件

引理1[1]若x(t)是Δ可微的且最终为正或最终为负时, 则

(9)

引入记号:

(10)

当λ>β时, 有

(11)

其中: 常数k∈(0,1);M>0为某常数. 如果

(12)

则方程(1)在[t0,+∞)T上是振动的.

证明: 不失一般性, 设方程(1)在[t0,+∞)T上有一个最终正解x(t)(若x(t)为最终负解时类似可证), 则存在t1∈[t0,+∞)T, 使得当t∈[t1,+∞)T时,x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0. 于是, 当t∈[t1,+∞)T时, 有y(t)>0. 由方程(1), 得

[A(t)φ1(yΔ(t))]Δ+b(t)φ1(yΔ(t))≤-LP(t)xβ(δ(t))<0,t∈[t1,+∞)T.

(13)

情形1)yΔ(t)>0,t∈[t1,+∞)T. 此时, 与文献[1]中定理1的证明完全相同. 当λ≤β时, 与式(10)矛盾； 当λ>β时, 与式(11)矛盾.

情形2)yΔ(t)<0,t∈[t1,+∞)T. 令

(14)

(15)

令u→+∞, 则有

(16)

注意到0

(17)

因此, 由式(17)并注意到式(14), 有

-1≤ω(t)θλ(t)≤0.

(18)

因yΔ(t)<0, 于是由式(9), 易得

(19)

当0<λ≤1时, 对式(14)求Δ-微分, 由式(19)的第二个式子、yΔ(t)<0及式(13),(14), 有

(20)

当λ>1时, 由式(19)的第一个式子及yΔ(t)<0, 可得式(20)仍然成立. 于是, 由

θΔ(t)=-[A-1(t)e-b/A(t,t0)]1/λ

及式(16), 有

从而

(21)

(22)

yΔ(s)≤-M1/λ[A-1(s)e-b/A(s,t0)]1/λ,

因此

即

令u→+∞, 得

即yβ-λ(t)≥kθβ-λ(t), 这里k=M(β-λ)/λ>0为常数.

综上及式(21)和函数π(t)的定义, 有

(23)

此外, 由y(t)/θ(t)单调增加可得

(24)

将式(23),(24)代入式(20), 得

(25)

将式(25)中的t改成s, 两边同时乘以θλ(σ(s))后再积分, 并利用时间测度链上的分部积分公式, 即

注意到

(26)

将式(18)用于式(26), 有

与式(12)矛盾. 证毕.

(27)

其中函数θ(t)和π(t)如定理1,

则方程(1)在[t0,+∞)T上是振动的.

证明: 不失一般性, 设方程(1)在[t0,+∞)T上有一个最终正解x(t)(若x(t)为最终负解时类似可证), 则存在t1∈[t0,+∞)T, 使得当t∈[t1,+∞)T时,x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0. 由定理1的证明知, 只有下列两种情形：

1) 当t∈[t1,+∞)T时,y(t)>0,yΔ(t)>0, [A(t)φ1(yΔ(t))]Δ<0;

2) 当t∈[t1,+∞)T时,y(t)>0,yΔ(t)<0, [A(t)φ1(yΔ(t))]Δ<0.

情形1)yΔ(t)>0(t∈[t1,+∞)T). 此时, 与文献[1]中定理1的证明完全相同, 当λ≤β时, 与式(10)矛盾； 当λ>β时, 与式(11)矛盾.

情形2)yΔ(t)<0(t∈[t1,+∞)T). 此时,A(t)φ1(yΔ(t))<0, 由式(17)知,yλ(t)≥A(t)(-yΔ(t))λθλ(t), 即

(28)

引入广义的Riccati变换:

(29)

则由式(28)知v(t)≥0(t∈[t1,+∞)T). 由式(13),(19),(28),(29)有

(30)

得

(31)

将式(23),(24),(31)代入式(30), 得

(32)

将式(32)中的t改成s, 两边同时乘以θλ(σ(s))后再积分, 并注意到引理2, 可得

所以

与式(27)矛盾. 证毕.

注1定理1及定理2均没有“δ是严格递增的可微函数, 且δ(T)=T”或“τ=δ,δ严格递增且τ∘σ=σ∘τ”等限制条件.

例1考虑二阶Euler微分方程(7), 即

(t2x′(t))′+q0x(t)=0,t≥1,

其中常数q0>0. 这里A(t)=t2,b(t)=0,B(t)恒为0,P(t)=q0,τ(t)=δ(t)=t,F(u)=u,λ=β=1,t0=1. 显然满足条件(H1)～(H4)和式(4). 取φ(t)=1, 由于 T=, 故

所以, 当q0>1/4时, 有

且

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