高观点下高中数学解题之极限思想

林美琳

摘 要：在高中数学中使学生学会应用数学思想进行解题是帮助学生顺利解决数学问题的一个有效的方法。对于高中阶段的某些数学问题，使用极限思想来解决能使解题过程更加清晰明了。在高中数学教学中应用极限思想进行教学，是培养学生数学核心素养的重要途径之一。

关键词：极限思想 高中数学 教学

极限思想不仅是一种应用在解题上的方法，同时还是一种重要的思维方式，在高中数学阶段占据着重要的地位。极限思想是微积分的基本思想，在新课程改革中将微积分放在了高中数学课程的重要位置上，并且在内容上都体现出了极限思想这一数学思想，说明了极限思想在高中数学阶段的重要性。本文从极限的定义出发，阐述了极限思想的内涵，并结合高中数学教材中的内容，介绍了极限思想在数列、函数和解析几何中的应用，具体讲解在其解题过程中是怎样运用极限思想的。[1]

一、极限与极限思想解读

1.极限的定义

极限的定义在人教A版教材中并没有直接给出，只在选修课本中定义导数时用到了极限符号，但极限思想的应用却经常要用到。考虑到高中学生在对形式化极限概念上存在认知困难的情况，我们首先来了解一下函数的极限：当x趋近于无穷时，函数f（x）存在一个无限接近的值，公式表示为x∞，f（x）=a，a就是函数f（x）的极限。数列的极限定义与极限定义与函数类似：在无穷数列{}中，若n趋近于正无穷时，的项也无限地与某一个常数接近，即|-a|近似于0，那么就说数列的极限为a。

通过上面极限在函数与数列中的两种定于我们可以看出极限就是某一个变量在变大或者变小的过程中逐渐向某一个确定的数值移动、却不能得到的过程，可以看出极限是一种对过程变化的描述。了解极限的定义是正确使用极限思想的基础。[2]

2.极限思想的内涵

极限思想是人们很早就在使用的一种数学思想，在过去的“穷竭法”和“二分法”中都蕴含着极限思想。在高中数学教学中使用极限思想。更重要的是要培养学生具备使用极限思想进行思考和研究问题的能力，通过问题中的信息构造出对应的数列或者函数f（x），从而根据定义解决问题。

极限思想的科学使用可以帮助学生用发展的眼光看待问题和处理学习、现实中的问题，帮助学生完成思想上的跨越，对提升学生解决实际问题的能力具有十分重要的帮助。当学生在面对某些难以解决的实际问题时，可以借鉴数学思想中的极限思想方法，将原本局限在一个点上的问题扩展到一个区间上进行研究，这个时候再回到起始的位置来研究这个问题，可以取得更好的效果。

二、极限思想的具体运用

1.极限思想在数列中的应用

数列是现如今高中数学教学的一个重要的组成部分，同时也是让很多教师和学生困扰的一个内容。在数列的运算过程中，学生经常会出现无从下手的情况，而极限思想其实可以为解决这些问题提供很好的思路。下面，我们使用一些例题来探讨极限思想在数列中的实际应用范围。

例题1：（2010年全國卷）已知数列{}中，=1，=c-

（1）设c=，=，求数列{}的通项公式

（2）求使不等式<<3成立的c的取值范围

分析：问题（1）略过，在这道题的第二个小问题中要求学生求出未知数的取值范围，根据题目我们首先确定的是未知数c只存在于=c-这个式子之中，而是为止的，因此，要想直接地得出c的取值范围是十分困难的，所以需要学生另辟蹊径，找到合适的解决方法。可以使用极限思想来解决这个问题，可以针对和分别使用求极限的方式，因为当n无穷大时，两者是相等的，因此，可以得出一个等式，求得的取值范围。这种问题是利用极限思想求解的一种典型的问题，需要引起教师和学生的重点关注，利用极限思想的方法使这个问题简单化。

解题步骤：由题干<<3可以首先确定an是一个递增的数列，且因为=1，所以数列是正的，有上界为3，因此，我们可以根据极限的定义推断出是存在的，那么不妨先设=m，则=m，且1

从上述问题可以看出在数列中求取值范围的问题时可以利用到极限思想的使用，在求解这类问题时，首先需要学生细心地观察数列的变化趋势，将可以得到的条件列出来，如是否是等比数列、是递增还是递减、是正数还是负的、是否有界等，然后再结合极限的定义和已知的定义来利用极限思想解决问题。[3]

2.极限思想在函数中的应用

极限与函数有着密不可分的关系，高中函数学习过程中有很多问题需要使用极限思想来解决，在极限的定义中也用到了专门用来解释函数极限的内容。作为高中数学教学的一个重点内容，尤其是在新课程改革的环境下，运用数学思想解决函数问题是高中数学教学的大势所趋，因此，教师必须要帮助学生学会运用极限思想解决函数问题的方法。下面，我们先来探索一下利用极限思想解决函数问题的一般思路。

例题2（2011山东高考数学题）已知函数f（x）=+x-b（a>0且a≠1），当2

分析：因为b是一个常数，我们可以很轻易地看出函数f（x）是单调递增的，如果函数的零点∈（n，n+1）则f（n）<0，那么f（n+1）>0就是恒成立的，而当a无限趋近于2并且b无限趋近于3的时候，f（n）是在无限趋近于+n-3的，所以，我们可以得出+n-3是小于等于0的，同理也可以得出+（n+1）-4≥0，根据题设的条件n∈，最终得到n=2的结论。

通过上面的例题我们可以看出极限思想在函数问题中经常会用到的形式。一是在遇到求函数的取值范围的问题时经常会用到极限思想，学生可以先将函数可以取到的值放大到极限然后再求出范围；另外还有像上述例题2这种求零点的问题时，要根据零点存在性的原则，将未知数的值取到极限从而得到相应的函数的解析式，进而最终得到想要求取的值。

在函数问题中利用极限思想可以很好地将复杂的问题简单化，帮助学生迅速地掌握问题的解决方法。

3.极限思想在解析几何中的应用

解析几何问题是高中数学教学中的一个教学难点，涉及到解析几何的问题一般很容易理解，但是却因为计算量的问题，学生很容易出错。解析几何问题的求解的特点就是用代数的方法求解题目中的几何问题，学生在解决这类问题时要尽量地避免因为运算量过大而产生的影响解题速度和精准度的问题。利用极限思想可以帮助学生很好地优化解析几何中运算量过大的问题。

例题3（2012天津高考数学题）设椭圆+=1（a>b>0）的左右顶点分别为A，B，点p在椭圆上且是异于A、B的一个点，O为原点坐标。

（1）若直线AP与BP的斜率之积为-，求椭圆的离心率；

（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>

分析：问题（1）略过，在这道解析几何问题中，学生理解起来一般非常地简单，按照一般的方法：找出k与离心率e之间的关系，再根据离心率的范围是0

这道题的具体解题过程如下：做出一个以A为圆心、 OA为半径的圆O，假设圆O与圆A相交于点N，所以可以得出|AO|=|AP|=|AN|=|ON|=a的结论，并且根据图形可以得出三角形AOM是一个等边三角形，所以∠AOM为60度，根据题目中的条件a>b>0，可以得出当点P，N在x轴的上方时，<=-；当点P，N在x轴的下方时>=-，根据上述结论最终可以得出证明直线OP的斜率k满足|k|>。

在解答这道问题时主要用到的是利用椭圆的短轴在无限接近于长轴的过程中会呈现出一种椭圆趋近于圆的状态，即将圆作为一种特殊的处于极限状态的椭圆来解答这个问题，最终只运用了少量的计算就解决了这个问题。这样，通过极限思想的使用极大的简化了在解析几何中的运算量，使问题变得简单起来。

总结：综上所述，可以看出极限思想在高中数学知识中有着广泛的应用，不仅是在数列、函数、解析几何中，在立体几何问题的解决中也有着巨大的优势。总之，在整个高中数学教学中为学生传授极限思想的使用，不仅能使题目的解析更加简洁，使解题思路豁然开朗，还能有效地提升学生的数学核心素养。利用高观点解决高中数学问题是新时期素质教育下新课程标准提出的一个重点要求，需要得到广大高中数学教师的充分认识，而极限思想则是高观点应用于高中数学的典型代表，帮助学生掌握极限思想这个有利的数学工具，能让学生更加輕松快乐地面对高中数学的学习，更加自信地应对未来高考。

参考文献：

[1]邵一丹.高中数学关于极限思想的内容梳理及其教学研究[D].陕西师范大学，2017.

[2]方泽昱.高中数学解题过程中极限思想的运用体会[J].经贸实践，2016（23）：213.

[3]郭婵婵.极限思想在高中数学中的应用[J].教育教学论坛，2014（35）.