浅谈数形结合在解题中的应用

摘要：数学作为一门工具学科，在众多科目学习中都发挥着重要作用。在解决数学问题中会用到较多的数学思想，数形结合作为使用率较高的一种数学思想，通过数形结合方法能够使得数学问题更加直观准确，有利于对问题的分析，进而提高解题效率。

关键词：数形结合；数学解题；应用分析

引言：

所谓的数形结合就是在问题分析过程中根据数与形之间的对应关系，实现数与形的转化，进而用其解决相关问题，在具体分析中数形结合思想能够“以形助数，以数解形”，将复杂问题简单化，抽象问题形象化，通过数形结合有助于抓住数学问题的本质，便于更快更准确的解决问题。本文主要对数形结合在解题中的应用进行分析。

一、数形结合在不同数学知识点中的应用

数形结合思想在众多数学问题解决中都发挥着重要作用。数学知识学习中会涉及到较多内容，因而在较多问题解决中都可采用数形结合方法。数形结合可应用到以下问题分析中：

1、绝对值问题

绝对值属于数学学习中的常见问题，绝对值的学习对于有理数运算的意义以及实际解题均有重要意义。在绝对值代数意义以及几何意义理解过程中可采用数形结合。尤其是在有理数计算过程中出现的绝对值，可将其通过数轴的形式展示出来，根据数轴快速做出判断。

2、数学方程以及数学不等式

数学中的方程问题可以通过转化成为不同函数对应的交点问题，对于方程组而言，同样的可以将其转化为不同函数图像对应曲线的交点问题，实现了代数知识和几何知识的有机结合。对于不等式而言，仍然可以将其转化为对应的函数图像，然后依据不等式成立的条件对不等式取值范围做出分析。如一次函数图像为直线，二次函数图像为抛物线；反比例函数图像为抛物线；三角函数图像为正弦式曲线等，掌握这些常见函数的图像对于解决相关数学问题具有重要作用[1]。

3、线性规划问题

线性规划问题在实际生活中应用较多，比如：人力调配、资源利用等，由于线性规划问题实际应用范围较广，因而关于这方面的知识在学习中国也得到了高度重视。线性规划问题在分析中主要是根据约束条件、线性约束条件、目标函数、现行目标函数等求解出对应的可行解和可行域，然后确定出在函数最大值或者最小值情况下对应的可行解。在线性规划问题解决中通过数形结合有助于明确可行解。

4、三角函数问题

三角函数图象和性质属于平面三角中的重要内容，三角函数具有周期性以及“多对一”的特性，在三角函数的单调性、三角函数某一区间大小比较等方面，可采用数形结合思想，根据不同三角函数图像对其做出判断和分析。借助于三角函数图像实现三角函数和代数函数的组合，使得相关问题解决更加便捷。

数学结合思想作为一种重要的数学思想，在解决数学问题中发挥着重要作用。当然实际应用范围较广，在实际数学问题分析中可根据具体的问题考虑是否采用数形结合。

二、数形结合在解题中的应用思路

数形结合在相关问题分析中主要从三个方面进行应用，其一就是将数学问题转化为图形问题，根据给出的数学问题绘制对应的图形。当然绘制图像的前提就是掌握不同函数图像、几何知识图像等，对于给出的问题能够绘制图像，这样才能实现数形结合；其二就是能够从给出的图形中捕捉到关键信息，对于直观无法做出判断的，可对部分图象进行赋值，进而得出相应的规律；其三就是兼顾数学知识和图形，实现数形互变，同时将原有问题转化为图形以及数学知识。

三、数学问题解决中数形结合实例分析

1、数形结合在方程解个数确定中的应用

方程确定解个数过程中可采用数形结合思想，也就是将方程转化为不同曲线交点问题。然后通过绘制相应的图像对解的个数做出判断。

比如：在方程X2-2X-3=a解的个数确定过程中，可将其转化为两个函数交点问题，也就是函数y=a与函数y=|x2-2x-3|交点问题。其中函数y=a的图像为直线，而y=|x2-2x-3|的函数图像可先做出抛物线y=x2-2x-3图像，根据绝对值的意义，y始终为非负数，因而需要将原有图像中X轴线下方的图像向上翻，最終得到函数y=|x2-2x-3|的图像，根据两者的交点，可以对解的个数做出判断。通过图像分析后，可知，当a<0的情况下，没有交点，无解；当a=0或者a>4的时候，有两个解；当0

通过数形结合思想的应用能够直观地对方程解个数做出判断，提高解题效率。

2、在三角函数中的应用

比如在函数y=（cosθ-cosα+3）2+（sinθ-sinα-2）2极值求解过程中，可将上述问题转化为两个不断变化点之间的距离问题，其中一点坐标为（cosθ，sinθ）另外一点坐标为（cosα-3，

sinσ+2），通过转化，上述两点对应的轨迹方程为x2+y2=1以及（x+3）2+（y-2）2=1，两者均为圆，根据绘制的图形，可得到最大值和最小值，其中最大值为2+

，最小值为

-2。

通过数形转化将原本复杂的问题转化为简单问题，然后借助于特殊函数的图像特点，完成问题的分析和解答[2]。

结束语：

数形结合思想作为一种重要的解题思路，在数学问题分析中具有重要的应用价值，大多数数学问题都可以通过转化绘制出对应的图形或者是根据图像获取关键信息，便于更好的解决各类应用问题。当然数形结合方法应用的前提就是明确数形结合思想，并对常见函数图像、几何知识性质特点有全面了解，这样在实际应用中才能够游刃有余。

参考文献：

[1]陆一冰.试论数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].中国培训，2016（22）：204.

[2]陈向前.数形结合在中学数学解题中的应用[J].中外企业家，2014（33）：171.

作者简介：张云琦（2000.06.16—）女，汉族，陕西省汉中市人，高中学历。