都是“0”惹的祸

◇李梅先

0 是小学数学中不可缺少但又极其特殊的数。说它特殊，主要是0 在小学数学中的作用特殊，比如在直尺上，0 表示起点；在温度计上，0 表示零上温度与零下温度的分界线； 在数轴上，0 表示正数与负数的分界点；在统计物体个数时，0 表示一个物体也没有；在计数时，0 用来占位……0 的这些不可替代的特殊功能，决定了对0的关注要远超其他数，与0 有关的问题在教学中频频出现；对0 的诠释也非同一般，与0有关问题的解决还需另辟蹊径。特殊的数与特殊的功能，特别的问题与特别的解决办法，难免会引发与0 相关问题的困惑和争议，小学数学教师面对这类问题也不禁感叹道：“都是0 惹的祸！”0 到底惹了什么祸？迷茫中，笔者搜集整理了备受教师关注的与0 相关的几个问题，并对此一一展开探寻，以期能为同行排疑解惑。

一、0为什么是自然数？

1993年之前，我国小学数学教科书指出：表示物体个数的 1、2、3、4、5 …… 都是自然数；1993年之后，我国小学数学教科书补充指出：一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。为什么要把0 纳入自然数的范畴？主要原因有二。其一，便于国际交流。世界上多数国家，尤其是教育发达国家都把0定义为自然数，为了国际交流的方便，国家技术监督局于1993年12月27日发布的《中华人民共和国国家标准 》（GB3100 ～3102-93）第 311 页《量和单位》，规定自然数集 N＝{0，1，2，3……}。在 《现代汉语词典》2016年6月第7 版中也把自然数定义成：零和大于零的整数，即0、1、2、3、4、5……其二，满足数学需要。高中数学教材中指出，有限集合中元素的个数是可以用自然数来表示的，空集是有限集合，而空集的元素个数为0，这就要将0 纳入自然数范畴，以满足空集教学的需要。

二、0为什么不是最小的一位数？

由于受到将0 划为自然数的影响，部分教师认为最小的一位数是0，而不应该是1。其实，自然数概念的完善，并不影响最小一位数的改变。首先，不妨看看有关定义。《数学（算术理论部分）》（上海教育出版社，1979年6月第 1 版，第 10 页）指出：用一个数字记出的数（不是0），叫作一位数。例如：1、3、9……在一个数中，数字的个数是几（其中最左端的数字不是0），这个数就叫作几位数。其次，不妨进行假言推理。如果最小的一位数是0，最小的两位数就是00，最小的三位数就是000……依此而论，岂不荒谬至极？

三、0是余数吗？

分东西时会出现两种情况：一是刚好分完，一个不剩；二是有剩余，当余数比除数小时，就不能继续分了。这两种情况，分别对应余数等于0和余数不等于0 两种数学描述。所以，在数论中“整除”与“余数是0”是等价的概念，即“余数是0”就是“一个不剩”的意思。例如，所有的正整数除以3，根据余数可以把所有的正整数分成3类，即余数是0、余数是1、余数是2。为什么会提出“0 是余数吗”的疑问呢？这可能与平时不严谨的语言描述有关。如把“没有剩余的除法”说成“没有余数的除法”，把“有剩余的除法”说成“有余数的除法”。这种把除法分成有或没有余数的描述，导致了认知冲突：既然没有余数，怎么又冒出余数是0 呢？

四、0×0为什么等于0？

0×0＝0 无疑是一道特殊的乘法算式。按照乘法的意义，0×0 表示 0个 0 相加，而 0个 0 相加是无法写出的加法算式，又怎能知道其和为0呢？其实，0×0＝0 是经过了“特殊—一般—特殊”的推理过程而得出的。因为0×3 或3×0 表示0+0+0，0+0+0 的和为 0，所以 0×3＝0，3×0＝0；同理可知，0×5＝0，5×0＝0；0×8＝0，8×0＝0……从这些特例中经过合情推理得出了一般性结论：0 和任何数相乘都得0，再将这个一般性结论运用到0×0这一更为特殊的计算中，即可知道0×0＝0。

在分数的定义中，分母表示把单位“1”平均分成的份数，分子表示从中取出的份数。从这样的描述中不难发现只是一种形式上的分数，俗称“零分数”，即把自然数0 写成了分数的形式；它并不是一个实质上的分数，即其虽然把单位“1”平均分成了8 份，但其未能从中取出一份或几份，取出的只是0 份，也就是没有取出，显然不符合分数的定义。对此，有关数学专著早有明确，人民教育出版社出版的《基础数学》第64 页定义分数时指出：“形如（m和n都是正整数，且 n＞1）的数叫作分数。”

六、在研究因数和倍数的时候，为什么一般不包括0？

为什么小学数学教材在研究因数和倍数时，都将0 排除在外？ 是不能研究还是没有研究价值？从 0×1＝0、0×2＝0、0×3＝0……中，发现 0 是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0 的因数。由此看来，在研究因数和倍数时，如果把0 纳入进来，还是可以研究的，只是失去了应有的研究价值。

七、0为什么不能做除数、分母或比的后项？

八、计算结果中的1.50是一位小数还是两位小数？

在教研活动中，老师们经常问：7.5×0.2＝1.50的结果到底是一位小数还是两位小数？小数乘法中判断积的小数位数，应以计算法则为准，至于积的末尾是否画掉是下一步的问题。因此，在出练习题时，最好不要出末尾有0 来判断积的小数位数的题目，因为这样的考查没有多大的意义。学生在具体计算时，只要按计算法则先确定积的小数位数，点上小数点，再根据计算的要求去掉小数部分末尾的0 即可。