因数和倍数的多种关系

◎相 辉

一、因数和倍数的关系

【例1】判断：4是因数，24是倍数是否正确？

【分析与解】

在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如24÷4=6，我们就说24是4的倍数，4是24的因数。24÷6=4，所以24是6的倍数，6是24的因数。因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数，或者说某个数是倍数，一定要说清谁是谁的因数，谁是谁的倍数。所以上面的结论是错误的。

二、因数的找法

【例2】24的因数有哪些？

【分析与解】

找一个数的因数和倍数可以用一一列举的方法。为了防止重复和遗漏，找一个数的因数，我们要一对一对地找。例如24的因数有1和24、2和12、3和8、4和6，当两个因数比较接近，直至相等时，就说明找全了。如果数字比较大时，还可以用短除法一一求出。

一个数因数的个数，还能用它不同质因数的个数加1，然后相乘求出。例如24=23×31，所以24的因数有（3+1）×（1+1）=8（个）。

三、最大公因数与因数的关系

【例3】已知两个数的最大公因数是6，这两个数的公因数有哪些？

【分析与解】

由于这两个数没有直接告诉，我们可以借助具体数字，先找一找两个数的最大公因数和它们的因数之间有什么关系？比如30和45，它们的公因数有1、3、5、15，其中最大公因数是15，15的因数有1、3、5、15，也是它们的公因数。从中我们发现两个数的最大公因数的因数，就是它们的公因数。所以6的因数有1、2、3、6，即这两个数的公因数为1、2、3、6。

四、最大公因数和最小公倍数与这两个数的关系

【例4】甲、乙两个数的最大公因数是10，最小公倍数是120，甲数是30，乙数是多少？

【分析与解】

根据公倍数的意义，我们知道两个数的最小公倍数是这两个数公有的因数和各自独有因数的积，120=10×3×4，10是公因数，3是甲数独有的因数，4就是乙数独有的因数，所以乙数是10×4=40。

另外我们仔细分析，还能发现两个数的乘积就等于两个数的最大公因数和最小公倍数的积，所以此类题目还可以这样求出乙数：10×120÷30=40。