显体系解疑难重变式——从《平均数》课例看概念教学策略

叶柱（特级教师）

翻阅现行教材，不难发现，其中编写着很多数学概念。确实，数学概念是课程领域内极其重要的基础知识，其教学实施事关学生各种数学能力的发展提升。面对习惯于具体感受、不善于抽象提炼的小学生，如何设计并开展概念教学，是一个需要持续关注、深入探讨的现实问题。在本期“典型课例”中，徐金春、沈晓钰两位优秀青年教师为我们呈现了基于新课程理念指引的《平均数》教学实录，读后颇有启发。在此，我想结合两个课例的学习体会，就概念教学的实践策略谈些粗浅想法。

一、显体系：突出“概念”的生长性

众所周知，某个新概念学习前，学生大都已有“前概念”。这个前概念，可能来自前位学习，也可能源于生活经验。备课时，教师要对学生的前位学习、生活经验予以足够关注，力求捕捉其中的前概念因素。在此基础上，通过营造空间、重点沟通等组织方式，促进前概念向新概念的无痕“升级”，从而夯实概念学习的基石。

我们一起探讨，学生已有的“平均数”前概念可能会有哪些？首先，对于平均数，部分学生课前有所“触碰”，但理解比较模糊。其次，对于“移多补少”的操作模式，很多学生是有生活经验的；而对于“先合后分”的运算策略，则与学生前期的“用除法解决问题”学习经历大有关联。可以说，学生对于“平均数”的前概念信息还是比较丰富的。

基于上述分析，我们来看两节课的教学组织。课堂现场，两位教师都让学生自主经历“移多补少”“先合后分”策略的生成过程，这是打通前概念与新概念的绝佳体现。除此之外，两节课还呈现出了不同的实践个性。徐老师于课始直接揭示课题，请学生畅谈对平均数的已有认识，由此摸准了概念生长的现实起点；在学生提出“（14+12+11+15）÷4=13”的解题策略后，徐老师及时追问学生“这样做”的理由。就在此时，令人倍感意外与惊喜的是，教师并不满足于“口头文章”，而是独具匠心地利用课件动态再现了“先合并，再等分”的过程画面，直观强化了二年级“平均分”知识与四年级“平均数”知识之间的本质关联。沈老师在创设“小红、小丽、小娟的踢毽比赛”情境时，围绕“分别用哪个数代表三人的踢毽水平”的核心问题，设计了一条“从三个相同的数中提取代表数”“从三个不同、但比较接近的数中提取代表数”“从三个不同、且差异较大的数中提取代表数”的递进路径，同样有利于概念内涵在每位学生的认知结构中有序生长。

二、解疑难：张扬“概念”的思辨味

在每个概念的学习过程中，常有一些核心元素远比字面描述更为抽象，让学生较难理解。直面这些核心元素的认知疑难，分析学情需求，改进环节设计，调整引领策略，是概念教学取得实效的重要法门。从这个角度来看，那些看似面面俱到、但对疑难核心元素缺乏充分关注、重点突破的教学组织，显然是缺乏达成度的。

我们试着分析一下，“平均数”概念的理解难点在哪里？上文已谈到，关于“平均数该如何得到”，学生的前概念较为丰富，并有“移多补少”“先合后分”的操作程序可以依靠，属于技能范畴，因此算不上疑难。而说到“平均数能反映什么”，虽可结合情境作出解读，但侧重于观念思辨，具有较高的抽象程度，很多学生理解起来不易“一步到位”，这才是概念建构的疑难所在。很高兴地看到，两位教师都非常重视“平均数能反映什么”这一学习难点的有效突破，极其强调概念学习的思辨味，帮助学生建立对“平均数是一个虚拟的数，反映一组数据的整体水平”的切实感悟，进而将学生对主体的概念理解引向深处。以下，就具体策略予以盘点：

1.情境推动，激活思考，解析学习疑惑。

徐老师在学生解决“这个小组平均每人收集了多少个水瓶”问题后，及时设问：“平均数13个是否说明，他们每个人都收集了13个水瓶？”从而将学生的关注点由“过程解答”引向“结论反思”，使其体会到“平均数并不是实际水瓶数。实际水瓶数有的大于平均数、有的小于平均数。”在此基础上，教师又适时拓展教材情境，巧妙延续了“剧情”，引发了全体学生更富深度地数学思考：“妈妈知道小明收集了15个水瓶，她想了解小明在整个组中的表现。如果你是妈妈，最想听到两种回答中的哪一种？”（第一种回答是“总数52个”，第二种回答是“平均数13个”）正像有位学生回答的那样，“我认为是第二种回答，这样就能看出小明的‘战况’很不错”，这个环节有力凸显了“平均数反映整体水平”的抽象内涵。

2.问题刺激，促进研究，解决认知难点。

沈老师在学生求出“小娟踢毽的平均数是17个”后，跟进追问：“这里的平均数17，是小娟第一、二、三次踢毽的个数吗？平均数17既然不是小娟三次踢毽的具体个数，那它究竟表示什么呢？”同样也帮助学生“认清”了平均数的本质属性。

三、重变式：提升“概念”的建构力

变式，是概念教学走向深入的重要手段，有利于学生在明确概念基本内涵后，先经历由“不变”到“多变”的跨越，领略概念外延的广泛性，再体验由“多变”到“不变”的归并，把握概念内涵的统一性。结合两节课的展开状态，变式的价值意义具体表现为三个方面。

1.依托变式，体会平均数的作用。

徐老师教学例2时，先呈现了“人数相同的男女队比成绩”的问题情境，让学生发现“一对一比”“比总数”“比平均数”均可，既适度巩固平均数的教学效果，又使学生感觉到“学习平均数后，数据分析手段更加丰富了”。随后，教师适时提供变式：“老师在统计男生队的成绩时，漏了孙奇同学的成绩（22个），现在你认为哪个队成绩更好？怎么比更合适？”基于这样的认知冲突，学生很快意识到“一对一比”“比总数”策略的局限性，切实感受到“比平均数”策略的适用性，集中聚焦“平均数反映整体水平”的统计作用。此后，教师继续发问：“孙奇的22个是所有人中最好的，为什么男生队还是失败呢？”使学生明白“一个数据高”不能说明问题，“整体水平高”才是本质所在。同样的，沈老师在展示自己前三次的踢毽成绩“18个、17个、19个”后，对于第四次成绩，预设了“14 个”“18 个”“22 个”多个变式，并在与小红、小丽及小娟的“PK”中，强调了“整体水平”的核心要义。

2.借助变式，凸显平均数的特点。

平均数在“反映整体水平”的本质属性外，还有一些外部特点。通过变式教学，能让这些特点“浮出水面”。比如，徐老师在完成“五位男生和四位女生比成绩”教学后，施展了“连环问”：“假如孙奇踢的个数比27个多，男生队的平均数会发生怎样的变化？如果孙奇踢的成绩很差，比如只有7个，男生队的平均数又会发生怎样的变化？”在充分思辨的基础上，教师对平均数外部特点的揭示“水到渠成”：看来，当其中一个数据发生变化时，整组数据的平均数就变了。

3.立足变式，优化平均数的应用。

笔者认为，“平均数”只有跳出书本限制、回归生活现场，才能真正凸显其统计学意义。鉴于此，两位教师都精心设计了一定数量的变式训练。徐老师策划的“小东到哪里去游泳比较危险”话题讨论、沈老师提出的“糕点师傅明天做多少个草莓蛋糕才合适”“你能运用今天所学的知识来劝劝老奶奶吗？”问题辨析，都将平均数知识“埋伏”进现实场景中，使得学生需要应用所学、灵动思考，进一步丰富了其对平均数本质功能的深度认同。

综上所述，透视两个《平均数》课例，笔者认为，概念教学要“显体系”“解疑难”“重变式”，来突出生长性、张扬思辨味、提升建构力。另外，对于教材编写的例题资源，徐老师的立场是“用透及拓展”，沈老师的做法是“替换与补充”。个人以为，只要有利于全体学生对于概念的深层建构，都是可行的。正所谓，“条条大路通罗马”。