简谐运动位移与时间关系的推导

尹传銮

摘 要：笔者注意到在高中物理教学中有很多学生对于“如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动”存有疑惑。本文对弹簧振子及单摆的运动情况进行了分析，并着重对其位移（线位移或角位移）与时间的关系作了详尽的推导。

关键词：简谐运动；弹簧振子；单摆；位移与时间；推导

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）12-0039-2

1 引 言

在中学物理教材中对于简谐运动的定义给出了如下两种表述：（1）如果质点的位移（笔者注：线位移或角位移）与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动；（2）如果质点所受的力具有（式F=-kx）的形式，也就是说：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

对于第一种方法（简称图像法），有的学生在学习过程中就会问了：为什么质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律或振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线的运动就是简谐运动？或者说为什么做简谐运动的质点其位移与时间的关系遵从正弦函数的规律或振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线？为了回答学生的疑问，在物理教学中作为物理教师有必要知道该结论的推导，只有这样才能对简谐运动有更清晰、全面的理解。

2 弹簧振子

对于弹簧振子（如图1），弹簧的弹力Fx与弹簧的形变量x之间呈线性关系，即Fx=-kx。k是弹簧的劲度系数，可知弹簧的弹力是线性回复力，弹簧振子做简谐运动。

此即为弹簧振子的位移与时间的关系，由式（4）我们知道弹簧振子的位移與时间确实遵从正弦函数的关系，振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线。

3 单 摆

此即为单摆的角位移与时间的关系，由式（4）我们知道单摆的角位移与时间遵从正弦函数的关系，振动图像（θ-t图像）是一条正弦曲线。

4 结束语

因此，在高中阶段两种常见的简谐运动——弹簧振子和单摆，其中弹簧振子的位移与时间遵从正弦函数的关系，振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线；而单摆的角位移与时间同样遵从正弦函数的关系，其振动图像（θ-t图像）也是一条正弦曲线。有了这样的认识，在日常的教学过程中，我们就可以很好地解答学生的疑惑了！

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书 物理 选修3-4[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]漆安慎，杜婵英.力学[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1995.

[4]同济大学应用数学系.高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

（栏目编辑 罗琬华）endprint