河图洛书及其蕴涵的数学意义

摘要：神秘的河图洛书表达的应该是一种数学思想。从数理上分析，河图与洛书都蕴含着基本的等和关系和等差关系。虽然他们只是中国古代流传的两幅神秘图案，但被认为是中华远古文明的源头，作为华夏文化重要纽带的汉字也产生在这里面。

关键词：河图;洛书;数理

中图分类号：G648     文献标识码：B    文章编号：1672-1578（2018）31-0002-01

1.河图洛书之由来

关于河图洛书的记载，最早出现在《尚书》之中，在《易传》之中，诸子百家亦多有记述。 根据古书所述，上古伏羲时，河南孟津县境内的黄河当中浮出龙马，背负着“河图”，将它献给了伏羲，伏羲就是依照这幅图而演成八卦，成为后来周易的渊源。又载，大禹的时候，洛阳西边一个叫洛宁县的地方，有人看见洛河中浮出一只神龟，背负“洛书”，献给了禹。大禹正是按照这幅图的指示才治水成功，并划天下为九州。然后，大禹又按照洛书制定九章大法，治理社会。《易·系辞》上说：“河出图，洛出书，圣人则之”，就是指的这两件事。

对于河图和洛书，历代皆认为它们是“龙马负之于身，神龟列之于背”，所以千百年来，它一直披着神秘的外衣。对于河图和洛书的内容，自古以来就有诸多传说和揣测。西汉刘歆认为河图就是八卦图，《尚书·洪范》就是洛书。宋初陈抟吸收汉唐九宫说与五行生成数，提出了一个图式，名“龙图”，后人将龙图发展为河图、洛书两种图式，将九宫图称为“河图”，五行生成图称为“洛书”。南宋蔡元定则认为九宫图为洛书，五行生成图为河图。朱熹在《周易本义》卷首载有该图。值得庆幸的是，近年来的考古发掘，对于河图洛书的研究实在意义非凡。1987年，考古工作者在河南濮阳西水坡出土的形意墓（距今约6500年）中发现了用貝壳摆绘的河图四象。同年，又在安徽含山出土了距今5000多年前用龟腹玉片摆成的洛书图像。那么，这神秘的河图洛书上到底是什么样的呢

河图与洛书都是由几串黑色和白色的圆点组成。河图上，排列成数阵的黑点和白点，蕴藏着无穷奥秘;洛书上，纵、横、斜三条线上的三个数字，相加之和都等于15，十分奇妙。对此，中外学者进行了长期的探索研究，认为这是中国先民心灵思维的结晶，是中国古代文明的第一个里程碑。清黄宗羲认为河图洛书为四方所上图经一类。现代学者有认为河图洛书是古代地理书，也有一些研究者认为河图为上古气候图，洛书为上古方位图，众说不一。

2.河图洛书的数理解读

善于数学思维的人细心分析，会发现河图洛书表达的应该是一种数学思想。因为从河图和洛书的图式可以看出，对称性和数字性是两者最明显和最基本的特点。从外观上看，河图洛书都是以黑、白两色圆点为基本构图要素，并在整体排列上呈现出矩阵的特征。

第一，数字性。数的概念直接而又形象地包含在图书之中。一个白色的圆点表示1;两个并列的黑色圆点表示2;……依次类推，河图中含有1～10共10个自然数，洛书中含有1～9共9个自然数。其中，由黑点构成的数为偶数，由白点构成的数为奇数，表达了数的奇偶观念。可以看出，数字性是河图洛书的基本特征。

第二，对称性。河图与洛书两幅图的结构分布形态对称，表现在两个层面：其一，由黑色圆点或白色圆点构成的每一个数的结构形态是对称的;其二，图式在整体结构分布上是对称的。河图，以两个数字为一组，分成五组，以[5，10]居中，其余四组[7，2]、[9，4]、[6，1]、[8，3]依次均匀分布在四周。洛书，以数字5居中，其余8个数字均匀分布在八个不同的方位。

从数理上分析，“和”、“差”关系是河图和洛书的基本内涵。具体而言，河图与洛书都蕴含着基本的等和关系和等差关系。

2.1 河图包含的数理关系：

2.1.1 等和关系。除中间一组数（5，10）之外，纵向或横向的四个数字，其偶数之和等于奇数之和。纵向数字：7、2;1、6

7+1=2+6;横向数字：8、3;4、9 8+4=3+9。推论：河图中，除中间一组数[5，10]之外，奇数之和等于偶数之和，其和为20。

2.1.2 等差关系。四侧或居中的两数之差相等。上（7-2）;下（6-1）;左（8-3）;右（9-4）;中（10-5），其差均为5。

2.2 洛书包含的数理关系：

2.2.1 等和关系。如图所示，洛书中各个纵向、横向和对角线上的三数之和相等，其和为15。

2.2.2 等差关系。洛书隐含着等差数列关系。①洛书四边的三个数中，均有相邻两数之差为5，且各个数字均不重复。上边[4、9、2] 9-4=5;下边[8、1、6] 6-1=5;左边[4、3、8] 8-3=5;右边[2、7、6] 7-2=5②通过中数5的纵向、横向或对角线上的三个数，数5与其它两数之差的绝对值相等。纵向 |5-9|=|5-1|或9-5=5-1;横向

|5-3|=|5-7|或5-3=7-5;右对角线|5-2|=|5-8|或5-2=8-5;左对角线|5-4|=|5-6|或5-4=6-5

可以清楚地发现，河图洛书包含着基本的自然数之间“和或差”的算术逻辑关系，尽管两者有所差别，但是它们表示的数理关系有相似之处，有内在的必然联系，由此，我们甚至可以大胆推测出一个结论：河图洛书很有可能同源。

参考文献：

[1] 常光明.《河图洛书解》，载《周易研究》，1989年第二期.

[2] 谭春雨.《点阵式河图洛书的思想内涵及其构建逻辑探讨》，载《中州学刊》，2011年第三期.

作者简介：马英典，淮南师范学院副教授，理学硕士。