判断函数单调性的常用方法
2018-01-19林凯
林凯
【摘 要】单调性是函数的一个重要性质，它是学生学习一些其他知识的基础，同时也是高考的高频考点。但是在平时的教学过程中，笔者发现不论是初步接触单调性的高一学生，还是进入总复习的高三学生，对于函数的单调性的判断，大部分时候都是不知所以然。针对这一情况，笔者有以下一些解题分析和答题策略，与大家共同商讨。
【关键词】函数；单调性；定义法；性质法；同增异减法；导数法；抽象函数
函数的单调性是函数诸多性质中最为基本的性质，亦是最为常用的性质，观察函数图象时首先注意到的是图象的上升或下降，但是由于图象直观获得的结论还需要从数量关系的角度通过逻辑推理加以确认。所以对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：①要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；②单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。下面，笔者就这一问题给出一些自己的见解和方法，以供大家参考。
一、定义法
根据定义证明函数单调性是函数单调性的最重要的方法，利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1 例如：求函数y= x∈[2，3]上的单调性 证明：∵函数y===1+ 设2≤x1 則f（x1）-f（x2）=- ∵2≤x1 ∴x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0 ∴f（x1）-f（x2）>0即f（x1）>f（x2） ∴函数y=在[2，3]上是减函数 使用定义法是判断函数单调性的一种常用方法，使用这一方法关键在于对函数单调性定义的理解，在应用定义法判别的时候，首先取定定义域中不等的两点，对其函数值作差，判断其大小，但是，在解题过程中，不乏对不等式的灵活应用，因此熟练掌握一些常的不等式。 二、性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解。 若函数f（x）、g（x）在区间B上具有单调性，则在区间B上有： （1）f（x）与f（x）+C（C为常数）具有相同的单调性；例如：f（x）= x3在R上是增函数，则f（x）=x3+3在R上也是增函数； （2） f（x）与c·f（x）当c>0具有相同的单调性，当c<0具有相反的单调性； 例如证明函数f（x）=3x-1在R上是单调增函数，∵函数f（x）=x在R上是单调增函数，∴f（x）=3x在R上也是单调增函数；∴f（x）=-2x在R上是减函数。 （3）当f（x）、g（x）都是增（减）函数，则f（x）+g（x）都是增（减）函数；例如，证明函数F（x）=x3+x在R上是增函数。∵f（x）= x3在R上是增函数，g（x）=x在R上是增函数， ∴F（x） =f（x）+g（x）=x3+x在R上是增函数；再如：证明函数F（x）=（）x+在R上是减函数。∵f（x）=（）x在R上是减函数，g（x）在R上是减函数，∴F（x）=（）x+在R上是减函数。 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。 三、同增异减法 同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法。对于复合函数y=f[g（x）]满足“同增异减”法（应注意内层函数的值域），可令 t=g（x），则三个函数 y=f（t）、t=g（x）、y=f [g（x）]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数. 例如：求函数f（x）=log2x3在（0，+∞）的单调性，令y= log2t，t=x3；∵y=log2t在（0，+∞）是增函数，t=x3在（0，+∞）也是增函数；∴f（x）=log2x3在（0，+∞）是增函数。因为两个函数都是增函数，则复合函数f（x）=log2x3在（0，+∞）上是增函数。 对于复合函数y=f[g（x）]，若函数u=g（x），在区间[a，b]上是单调函数，函数y=f（u）在[g（a），g（b）]或[g（b），g（a）]上也是单调函数，那么复合函数y=f[g（x）]在区间[a，b]上是单调函数，其单调性简记为“同增异减”。判断函数的单调性，特别注意要在定义域内研究。 四、导数法 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。一般地，在某个区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。如果在某个区间内恒有f′（x）=0，则f（x）是常函数。注意：在某个区间内，f′（x）>0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，但（2）求可导函数f（x）单调区间的步骤：①求f′（x）；②解不等式f′（x）>0（或f′（x）<0）；③确认并指出递增区间（或递减区间）例如：求证： 函数f（x）=2x3-6x2+7在（0，2）内是减函数。∵f（x）=2x3-6x2+7， ∴f'（x）=6x2-12x，由f'（x）>0，解得0
利用导数判断函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f'（x），通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f'（x）的符号，来确定函数f（x）在该区间上的单调性并要注意，在相同单调性的两个区间不能写成并集的形式。
五、抽象函数
抽象函數是指没有给出具体的函数解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。此类函数单调性的证明既能全面考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解与接受能力。 抽象函数单调性判断的四种策略：①凑差策略。紧扣单调函数定义，利用赋值，设法从题设中“凑出”“f（x1）-f（x2）”，然后判断符号；②添项策略。瞄准题中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到确定“f（x1）-f（x2）”的符号的目的；③增量策略。由单调性的定义出发；④放缩策略。结合添项策略，利用放缩法，判断f（x1）与f（x2）的大小关系，从而得f（x）的单调性。例如：函数f（x）对任意的a、b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且当x>0，f（x）>1，求证：f（x）是R上的增函数。分析：先取x1
函数单调性是函数的一个非常重要的性质，从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用.本文从单调性的定义入手，总结了判断单调性的常见方法。对于具体的函数，我们可以用多种方法去判断其单调性，特别地导数法是普遍适用的，图像法也是最简单最直观的。因此在判断函数单调性的问题上，应灵活选择恰当的方法，从而使解题过程最简单。
参考文献：
[1]刘璐《浅谈高中数学抽象函数的单调性问题》.
