牛顿-莱布尼茨公式教学方式研究

2018-01-18易强吕希元

课程教育研究 2018年42期

关键词：原函数微积分

易强吕希元

【摘要】探讨一元函数微积分中牛顿-莱布尼茨公式的教学，针对牛-莱公式的广泛运用，举例说明它在求解实际问题中起的简便实用的运用。

【关键词】微积分积分限原函数

【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0167-02

一元函数微积分中求定积分的值是很重要的一部分内容，而求解定积分的最关键点就是利用牛顿-莱布尼茨公式，该公式的关键点又是能够准确找出原函数，在多年的教学实践中发现，学生在运用牛顿-莱布尼茨公式求积分依然存在很多问题。

一、牛顿-莱布尼茨公式介绍

定理：若F（x）是连续函数f（x）在区间[a，b]上的一个原函数，公式■ f（x）dx=F（b）-F（a）称为牛顿-莱布尼茨公式。

证：取Ф（x）=■f（t）dt，则F（x）-Ф（x）=C（a≤x≤b），令x=a时，得F（a）-Ф（a）=C，而Ф（a）=■f（t）dt=0，从而得C=F（a），故F（x）-Ф（a）=F（a），则F（x）-F（a）=Ф（x）=■f（t）dt，再取x=b得：F（b）-F（a）=■f（t）dt，从而：■f（x）dx=F（b）-F（a）。

二、运用

例1.设函数f（x）在[0，1]上连续，且满足f（x）=x·■f（t）dt-1，求■f（x）dt及f（x）。

解：令A=■f（t）dt，则f（x）=Ax-1，两边同时从0到1作定积分，可得：

■f（x）dx=A·■xdx-■dx

即：A=■A-1，从而A=■f（x）dx=-2，从而f（x）=-2x-1。

以上的求解，主要利用定积分的含义是一个常数，故将■f（x）dx令成常数，然后两边再积分，借助牛顿-莱布尼兹公式很容易求得f（x）。

例2.汽车以每小时36km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度a=-5m/s2刹车。问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？

解：首先要算出从开始刹车到停车经过的时间，设开始刹车的时刻为t=0，此时汽车速度为：v0=36km/h=■m/s=10m/s，刹车后汽车减速行驶，其速度为：v（t）=v0+at=10-5t，当汽车停住时，速度v（t）=0，故由v（t）=10-5t=0，得t=2（s）。于是这段时间内，汽车所驶过的距离为：S=■v（t）dt=■（10-5t）dt=10t-5×■■■■=10（m）

即在刹车后，汽车需驶过10m才能停住。

利用牛顿-莱布尼茨公式可以在实际问题中来求解汽车制动后的刹车距离。

例3.证明定积分公式：

In=■sinnxdx=■·■…■·■·■·■，n为正偶数■·■…■·■·■，n为正奇数

证：易见I0=■dx=■，I1=■sinxdx=-cosx■■=1，

当n≥2时，In=■sinnxdx=-■sinn-1xdcosx

=（-sinn-1x·cosx）■■+（n-1）■sinn-2xcos2xdx

=（n-1）■sinn-2x（1-sin2x）dx

=（n-1）·■sinn-2xdx-（n-1）·■sinnxdx

=（n-1）·In-2-（n-1）·In

故In=■·In-2。

反复使用递推公式，可得：