常数项级数敛散性的判断方法小结

【摘要】本文探讨了微积分课程中常数项级数敛散性的判断方法，对学生在解题过程中常见的错误进行了剖析，并给出了级数敛散性的有效判定流程。

【关键词】常数项级数  敛散性  教学

【基金项目】本文系江苏省高等学校自然科学研究项目资助（项目编号：17KJB110004）。

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0138-03

无穷级数是微积分课程中很重要的一个组成部分，它在表示函数、研究函数性质以及数值计算中起着非常重要的作用。无穷级数理论是数列极限理论的拓展，其又以常数项级数为基础。学生在高中阶段及以前的学习中，对有限个常數求和已经非常熟悉。而在学习此部分内容的过程中，由于对有限和与无限和的本质区别缺乏充分理解，学生经常会犯一些常识性的错误。另一方面，判断常数项级数敛散性的方法比较繁杂，学生在遇到具体问题时很容易无从下手。本文将结合学生在解题过程中常见的错误，对微积分中常数项级数敛散性的判断方法进行小结，并给出有效判定流程。

1.常数项级数的定义

对于给定的数列u1，u2…，un，…，称u1+u2+…+un+…为常数项无穷级数，记作■un;其中第n项un称为级数的通项。级数的前n项和Sn=■uk称为级数的部分和，其构成的数列{Sn}称为原级数的部分和数列。若■Sn=S存在，则称无穷级数收敛，并且有和数S。若■Sn不存在，则称无穷级数发散。

2.判断级数敛散性的一般方法

利用无穷级数的性质，以下我们给出判断级数敛散性的一般方法，主要有：

（1）设c为任意非零常数，则级数■cun与级数■un具有相同的敛散性;

（2）若级数■un与■vn都收敛，则级数■（un+vn）也收敛;

（3）增加，去掉，或者改变级数的有限项，不改变级数的敛散性;

（4）在收敛级数的项中任意加括号，不改变级数的收敛性;

（5）如果级数■un收敛，则其通项趋于零，即有■un=0。

这五条性质对于任意常数项级数都是成立的。但由它们引起的一些结论，学生可能会产生混淆。例如（1）的推广：若级数■cun收敛，则■un也收敛;此结论是错误的，因为■cun收敛不能得到c≠0这个结论，如■0·■收敛，但■■却是发散的。另一方面，若级数■cun发散，其保证了c≠0，此时■un发散这个结论是正确的。作为（2）的推广，我们可以利用反证法得到：若■un收敛，■vn发散，则级数■（un+vn）必发散。（4）的应用也非常广泛，例如由（1-1）+（1-1）+…=0以及1+（-1+1）+（-1+1）+…=1可得级数1-1+1-1+…发散。

3.正项级数敛散性的判断方法

本部分将对正项级数敛散性的判断方法进行总结。通项非负的级数称为正项级数。首先，我们有正项级数的一般性收敛原理：正项级数■un收敛当且仅当其部分和数列{Sn}有上界。值得注意的是，此结论在理论上是非常完美的，但一般较难用于判断具体的正项级数是否收敛。除此之外，我们还有以下关于正项级数的收敛判别法：

（1）比较判别法之初等形式：设■un和■vn是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有un

比较判别法之极限形式：设■un和■vn是两个正项级数，且■■=A。（i）若0

在使用比较判别法时，需要有明确的参照物。常用的级数有：（i）“等比级数”■aqn-1，其中a≠0，q≠0，在q<1时是收敛的，其余情况发散。（ii）“p级数”■■在p>1时收敛;p≤1时发散。除此之外，还有以下几个无需寻找参照物的正项级数判敛法：

（2）比值判别法：设■un为正项级数，且有■■=r，则当r<1时级数收敛;当r>1时级数发散;当r=1时级数敛散性需进一步确定。

（3）根值判别法：设■un为正项级数，且有■■=r，则当r<1时级数收敛;当r>1时级数发散;当r=1时级数敛散性需进一步确定。

（4）积分判别法：设f（x）是[1，+∞）上非负单调连续函数，则■f（n）与■f（x）dx同时敛散。

值得说明的是，在比值和根值判别法中，在r>1的情况下，不但级数发散，我们还可以得到■un=+∞这个结论。以上几种判别法各有优劣，如何进行恰当选择成为了解题的关键。给定正项级数■un，我们一般按照以下几个步骤进行判断：（1）首先观察级数的通项极限■un是否为零。若是，则进行下一步讨论;若否，则直接判定级数发散。（2）观察级数的通项un是否混合含有n的幂与指数形式，或者含有幂指函数，阶乘;若是，则优先选择比值或者根值判别法。（3）通项仅含单一的n的幂或者指数形式，则优先选用两种形式的比较判别法，并优先考虑其极限形式。（4）将级数的通项un表达式中的变量n换为x后，如果容易判断其对应函数的无穷限积分的敛散性，考虑用积分判别法。（5）若上述方法全部失效，则可尝试用级数收敛的原始定义去判断。下面我们给出一个例子：

例1 判断级数■■（■）n的敛散性。

解题思路：首先，无法直接判断级数通项极限是否为零，所以跳过以上步骤中的（1）。由于级数的通项含有n的幂，以及阶乘，可考虑比值或者根值判别法。

以下是学生的常见错误解法。由于微积分课程对前面学过的数列极限内容要求并不高，有部分同学不知道■■=

+∞这个结论，他们将此结论与■■=1产生混淆，误以为■■=1，因此利用此错误结论得到■■=■■=0这个错误的等式，再利用根值判别法断定此级数收敛。

事实上，根值判别法不是最优选择，我们考虑用比值判别法。由于un+1=■（■）n+1，un=■（■）n，则■■=■=■■=■<1，由比值判别法可知级数收敛。

除了以上给出的几种判别法外，还有拉贝判别法、对数判别法、双比值判别法、高斯判别法等其它类型的方法，由于它们超出了微积分课程的学习范围，故本文不做讨论。值得一提的是，虽然本部分讨论的是正项级数，但对于负项级数（通项非正的级数）而言，在差一个正负号的前提下，和正项级数的讨论方法完全一致。

4.任意项级数

各项符号不完全相同的数列{un}所构成的级数■un称为任意项级数。任意项级数是常数项级数最重要的组成部分，但是能够利用的工具和方法极其有限。本部分首先讨论判断某类特殊的级数是否收敛的一种方法——莱布尼茨判别法。

首先回顾一下交错级数的定义。设un>0，n=1，2，…，形如■（-1）n-1un或■（-1）nun的数项级数，称为交错级数。我们常用的方法如下：

莱布尼茨判别法：设交错级数■（-1）n-1un满足条件：（1）un≥un+1（n=1，2，…）;（2）■un=0，则交错级数■（-1）n-1un收敛。

在利用莱布尼茨判别法解题时，核心是判断un≥un+1（n=1，2，…）成立，大致有以下几种方法：（1）初等方法，如初等变形，求差，求比值等;（2）根据un的特点，构造相应的连续函数f（x），利用导数法证明其在适当的区间上单减。另一方面，莱布尼兹判别法只是判断交错级数收敛的一个充分条件，并非充要条件。因此，当交错级数不满足莱布尼兹判别法的条件时，不能轻易下结论，得到级数一定发散，而是需要考虑用其他方法进行处理。

除此之外，我们还可以利用绝对收敛性判断任意项级数的敛散性。给定任意项级数■un，如果级数■un收敛，则称■un绝对收敛;如果级数■un收敛，而级数■un发散，则称级数■un条件收敛。实际上，我们有以下性质：

绝对收敛性：设■un为任意项级数。若■un收敛，则■un也收敛。

例2判断级数■■（■）nsin■的敛散性。

解题思路：由于级数的通项中sin■的出现，我们可以判断出此级数为任意项级数。有很多学生在解答此题时，没有仔细辨别，而是直接利用正项级数的方法去处理，导致错误的出现。实际上，由例1可知正项级数■■（■）n收敛，而由0≤■（■）nsin■≤■（■）n以及正項级数的比较判别法可知，级数■■（■）nsin■收敛，因此■■（■）nsin■绝对收敛，即任意项级数■■（■）nsin■收敛。

除此之外，任意项级数的敛散性还有柯西定理、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法等，均超出了微积分课程的学习范围，在此不再赘述。

5.总结

以上我们讨论了微积分课程中判断级数敛散性的常用方法，但遇到实际题目时，方法选择是否恰当，决定了学生能否正确解答此题。我们可以通过一个流程图来进行归纳总结：

我们采用上述流程图，研究一个具体的题目。

例3 判断级数■（-1）n-1■的敛散性。

解题思路：首先观察级数通项的极限。由于■（-1）n-1■=0，则级数的敛散性需要进一步讨论。对于新的正项级数■（-1）n-1■=■■，由于■■=■■=1，而“p级数”■■发散，则由正项级数比较判别法的极限形式可知级数■■发散，由此判断出原级数■（-1）n-1■不是绝对收敛。另一方面，对于交错级数■（-1）n-1■，显然有■≥■，且■■=0，则由莱布尼兹判别法可知原级数■（-1）n-1■条件收敛。

以上是对微积分课程中遇到的判断级数敛散性题目的解答方法的归纳与总结。在学习和解题的过程中，学生很难做到一蹴而就，立刻就找到正确而简练的方法，而是需要通过大量的练习和及时的回顾与总结，才能熟练掌握此部分内容。

参考文献：

[1]朱来义.微积分（第三版）[M].高等教育出版社，264-301页.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）下册[M].高等教育出版社，1-27页.

[3]李春江.级数收敛的判别方法[J].中小企业管理与科技（上旬刊），2010（4）：255-256.

作者简介：

曾阳（1984.2-），男，汉族，河南洛阳人，博士，南京审计大学，讲师，研究方向：李代数与表示理论。