常见离散型随机变量的原点矩探讨

阮哲钊

【摘要】本文首先介绍了几种常见的离散型随机变量的概念，并给出了他们的概率分布;随后本文主要介绍了原点矩的概念，并推导了这几种离散型随机变量的高阶原点矩。

【关键词】伯努利分布  二项分布  超几何分布  原点矩

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0127-02

一、常见离散型随机变量及原点矩概念

本小节主要介绍一般离散型随机变量的概念及原点矩的概念。

（一）常见离散型随机变量

1.伯努利分布

假设在一次伯努利试验中，事件A发生的概率为p， 不发生的概率为q=1-p， 定义随机变量X1为：

X1=1，事件A发生0，事件A不发生

我们称X1服从伯努利分布，记为X1～B（1，p）.伯努利的概率分布为P（X1=k）=pkq1-k，k=0，1。

2.二项分布

二项分布是伯努利分布的推广，在n次伯努利试验中，我们定义随机变量X2为事件A发生的次数，则称随机变量X2服从二项分布，记作X2～B（n，p）。

随机变量X2的概率分布为P（X2=k）=C■■pk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n

3.超几何分布

假定在N件产品中有M件次品，其余产品为正品，在N件产品中随机抽取n件产品，记X3为次品件数，则称随机变量X3服从超几何分布，记作X3～H（N，n，M）。

超几何分布的概率分布：

P（X3=k）=■

其中，k∈{0，1，2，…，mim{n，M}}

（二）原点矩

数学期望、方差和相关系数是随机变量最常用的数字特征，他们都是某种矩。矩是最广泛的一种数字特征，在概率和数理统计中占有重要地位。最常用的矩有两种：一种是原点矩，一种是中心矩。

定义1  对整数s， 称ms=E（Xs）为随机变量X的s阶原点矩。其实数学期望是一阶原点矩。

二、几种离散型随机变量原点矩推导

对于原点矩的计算，随机变量函数的数学期望公式是至关重要的，首先我们给出一个关于离散型随机变量函数的数学期望公式。

定理1 （佚名统计学公式） 若函数f（x）是一元连续函数，若离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，x3，…，对应的概率分别为p1，p2，p3，…，那么新的随机变量Y=f（X）的数学期望为E（Y）=■f（xi）pi。

（一）伯努利分布的原点矩

根据佚名统计学公式，我们可以给出伯努利分布的任意阶原点矩E（X■■）=■ksP（X1=k）=■kspkq1-k=p。

（二）二项分布的原点矩

二项分布的高阶原点矩计算比较复杂，这里只讨论二项分布的一阶原点矩和二阶原点矩。

二项分布的一阶原点矩为E（X2）=■kP（X2=k）=■kC■■pk（1-p）n-k=np■■pk（1-p）n-1-k=np■C■■pk（1-p）n-1-k=np（p+1-p）n-1=np。

二项分布的二阶原点矩推导如下：

E（X■■）=■k2P（X2=k）=■k2C■■pk（1-p）n-k=■[k+k（k-1）]■pk（1-p）n-k=■k■pk（1-p）n-k+■k（k-1）■pk（1-p）n-k=np+■■pk（1-p）n-k

=np+n（n-1）p2■■pk-2（1-p）n-k=np+n（n-1）p2■C■■pk-2（1-p）n-k=np+n（n-1）p2■C■■pk（1-p）n-2-k=np+n（n-1）p2（p+1-p）n-2=np+n（n-1）p2

因此，随机变量X2的一阶原点矩为E（X2）=np，二阶原点矩为E（X■■）=np+n（n-1）p2。

（二）超几何分布的原点矩

傳统定义方法计算超几何分布的原点矩比较繁琐，为此我们引入如下引理来计算超几何分布的原点矩。

引理1 设随机变量ξi（i=1，2，…，n）的分布为：

ξi=1，事件Ai发生0，事件A不发生

定义随机变量ξ=■■■ξi， 则随机变量ξ的原点矩可由如下公式给出：

E（ξ）=E■ξi=■E（ξi），

E（ξ2）=E■ξi2=E■ξ■■+■ξiξj=■E（ξ■■）+■E（ξiξj）

随机变量X3～H（N，n，M），设对应的事件Ai为第i次取到次品，则

P（A1）=■，P（A2）=■■=■

P（An）=■■…■=■

因此，我们有P（Ai）=■（i=1，2，…，n），故由引理1可得X3的原点矩为：

E（X3）=■E（ξi）=■P（Ai）=■

为计算E（X■■）， 我们首先要计算E（ξiξj）（i≠j）：

E（ξiξj）=P（ξiξj=1）=P（AiAj）=P（Ai）P（Aj|Ai）=■■

由引理1我们有

E（X■■）=■E（ξ■■）+■E（ξiξj）=■P（ξ■■=1）+（n2-n）■■=n■+（n2-n）■■

结束语

原点矩的概念是随机变量非常重要的数字特征，它对于数学期望和方差的计算是非常重要的。传统的定义方法计算原点矩是比较复杂的，在本文中，二项分布的原点矩是用传统的定义方法计算给出的，整个计算比较复杂，而超几何分布的原点矩是通过将该随机变量拆分为多个随机变量的和计算得到的，这样使计算大大简便。

参考文献：

[1]王思俭.探公式，窥本质——二项分布、超几何分布的数学期望与方差公式探究[J].新高考：高二数学，2014（4）.

[2]曹四清.相映生辉的四种概率分布[J].中学生数理化（高考数学），2013（2）.

[3]唐锐光.超几何分布、二项分布的期望与方差公式的统一证法[J].数学通讯，2009（22）：24.