抽象“周长”概念的策略分析

黄芳　安丽玉

【摘要】抽象思想是一种数学基本思想，三年级学生以形象思维为主，而周长概念的抽象性较强，这就要求教师教学周长概念时做好“抽象”。可以采用以下策略：合理编排，有序地抽象；多元表征，直观地抽象；比较区分，逻辑地抽象；灵活度量，运用中抽象。

【关键词】动手实践；自主建构；活动经验

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）89-0063-03

【作者简介】1.黄芳，江苏省无锡市安镇实验小学（江苏无锡，214105）副校长，高级教师，江苏省数学特级教师；2.安丽玉，江苏省无锡市安镇实验小学（江苏无锡，214105）年级组长，一级教师，无锡市锡山区小学数学教学新秀。

数学是一门抽象的学科，其研究方法也是抽象的。作为过程的抽象，是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科学概念，从而把握事物的本质和规律。其主旨是对有关数量关系和空间形式的直观背景材料进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和提炼，以实现建立数学概念、构造数学模型、组织数学体系的目的。

对于一个平面图形，教师可以从两个维度来认识：一是图形的几何特征，二是图形的度量特征。长度是度量一维空间“线”的长短，其度量对象是“线”，度量属性是长短。面积是度量二维空间“面”的大小，其度量对象是“面”，度量属性是大小。在教学中，经常会发现学生对周长的认识存在这样的误区：将周长等同于周长度量对象——“线”，找不准周长度量对象——“线”，或者将一维的“线”与二维的“面”缠绕在一起。原因在哪里？三年级学生以形象思维为主，而周长概念的抽象性较强，它不像图形的几何特征那样直观，也不如面积概念那样易感知。这就要求教师在周长概念教学的起始课上就做好“抽象”这件事。

一、合理编排：有序地抽象

荷兰数学家弗赖登塔尔认为，教材是教学法的编导。北师版、苏教版、浙教版、人教版、青岛版、西师版等版本教材对周长相关内容的编排顺序是相同的，主要经历“认识长方形和正方形的特征—认识周长—长方形和正方形周长的计算”这三个过程。

同一概念的相关联系，在数学上表现为同一概念的内部逻辑结构、同一概念和各种等价表示之间的联系及其与具体模型相联系的外部表示之间的抽象。这些联系是学生理解概念、完善概念网络、灵活运用知识的关键，长方形和正方形的特征、认识周长、长方形和正方形周长的计算之间就存在着这样的联系。

各版本教材的安排都体现了抽象过程的教学法规律，从认识几何特征、认识周长概念到周长概念的应用计算，逐渐深入，符合三年级学生的思维逻辑，有利于他们获得抽象概念。遵循教材的编排顺序，可以在教学第三课《长方形和正方形周长的计算》时这样串联前两节课的知识：

【片段1】三上《长方形和正方形周长的计算》

师：小刚和小明参加赛跑，裁判员宣布小刚绕着1号跑道（长方形）跑一圈，小明绕着2号跑道（正方形）跑一圈。小明表示不公平，说他的跑道比小刚的长。

师：到底谁的跑道长？怎样来判断呢？

生：可以计算两条跑道的周长。

师：什么是跑道的周长？谁上来指着图说一说？ 生：围成长方形跑道、正方形跑道四条线段的长度之和分别是它们的周长。

师：计算跑道周长，需要知道哪些条件？怎样才能知道？

生：量一量长方形跑道的一个长和一个宽，再量一量正方形跑道的一个边长。

师：为什么这样量呢？

生：长方形对边相等，正方形四条边相等。

长方形和正方形的几何特征、周长概念及其应用计算在这一问题情境中得到了有意义的联结，周长概念内涵的多种属性便形成了结构化网络，这有利于学生多方位地理解与把握周长概念。

二、多元表征：直观地抽象

概念的理解一般要经历形象—表象—抽象的过程，学生思维活动的水平主要取决于外在刺激的程度，如何使用各种外部表征帮助学生建立反映概念本质的内在表征是关键。

美国学者莱许说：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他表述方式——图像、书面语言、符号语言、现实情景等——同样也发挥了十分重要的作用。”多元表征理论强调概念表征的不同方面要相互渗透与必要互补，这样就能充分利用学生已有的知识和经验使概念变得丰富和生动起来。

【片段2】三上《认识周长》

1.认识物体平面的周长。

请学生指一指3张书签的一周边线。

小结：都要从一个点出发沿着边线走一圈，再回到原来这个点。

请学生指一指数学书封面等实物的一周边线。

小结：物体某个平面一周边线的长叫作它的周长。

2.认识平面图形的周长。

师：平面图形也有周长，这些图形（如图1）的周长是指什么呢？谁能指着三角形先来说一说呢？ 生：围成三角形一周边线的长就是它的周长。

生：三条线段的长度之和就是它的周长。

师：请你描出这些图形的一周边线。现在，你能指着图说一说其他图形的周长是指什么吗？

小结：围成长方形、正方形、梯形等四边形的四条线段的长度之和就是它们的周长，围成半圆形、不规则图形一周边线的长就是它们的周长。

师：怎样知道这些图形的周长呢？哪些边可以用直尺量？这些边能用直尺量吗？怎么办？

生：用线围着边线一周，量出线的长度就是曲线的长。

最符合小学生的認知方式，一是直观，二是建立联系，这也是小学数学教学中要培养学生的最重要的素养。上述教学，教师引导学生经历了基于直观的多元表征过程——指一指、描一描、围一围、量一量、说一说、比划周长等。

先由实物引导认识“物体某个面一周边线的长就是它的周长”，既来源于学生的生活经验，又直观形象地描述了周长的属性；接着通过“六个平面图形的周长各是多少”，引导学生类推出“多边形各边的长度之和就是它的周长”，从而深化和完善他们对周长含义的认识。这个过程帮助学生逐渐积累起周长的内在表征，而不至于再将周长与周长度量对象——“线”混淆起来，也丰富了学生对现实空间和平面图形的认识，使他们积累了“图形与几何”的学习经验，发展了初步的空间观念。

三、比较区分：逻辑地抽象

抽象是与具体相对应的概念，其过程通过一系列比较、区分、舍弃和收括的思维操作而实现。比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点；区分，就是把通过比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类；舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质；收括则是指把我们需要的对象性质固定下来，并用词语表达出来。这就形成了抽象的概念，同时也形成了表示这个概念的词语，于是实现了一个抽象过程。就是说，抽象概念过程也需要逻辑地分析，这样会使概念变得更加严格与精准。

【片段3】三上《认识周长》

师：瞧，3只小甲虫正在玩游戏呢！先看游戏规则：每只小甲虫沿着树叶的边线跑一周，跑得符合要求的能获得奖励。

师：这是3只小甲虫跑的路线（如图2），哪只小甲虫能获得奖励呢？为什么？

师：2号、3号小甲虫为什么没有获胜？

生：2号没有跑完一周。

师：什么是一周呢？

师：从一点开始，沿着边线跑，最后又回到这一点，就是沿着边线跑一周。

生：3号没有沿着边线跑。

【片段4】三上《认识周长》

师：这个图形（如图3）有周长吗？

生：这个图形不完整，没有封闭，所以没有周长。

师：这些图形（如图4）有周长吗？谁来指着图说一说？

片段3是通过比较区分出一周边线的意义，片段4同样是通过比较区分出对平面图形的界定，这样的过程有助于学生找准周长度量对象——“线”。这是对直观的抽象过程所呈现的原有认知的补充，它能使学生从更高的抽象水平收括原有的认知，包括对此作出必要的经验改造或重构。

四、灵活度量：运用中抽象

学生在日常生活中会遇到许多客观存在的问题，这时就需要他们具有一定的数学敏感度，要善于从数学的角度运用数学知识去解决问题，从而获得对数学本质的理解。周长概念学习过程中的灵活度量，既是解决问题的需要，也是一种对概念的反思性理解。

度量的过程如下：一是确定度量单位，再看度量对象包含多少个度量单位，度量单位的个数就是度量值的大小；二是将不规则物体转化为规则物体来度量；三是公式计算。在解决问题的过程中，需要根据不同的情况灵活选择方法，应用意识的生成便是知识经验形成的标志。

【片段5】三上《长方形和正方形周长的计算》

1.探索长方形周长的计算。

师：这个长方形跑道，长是28米，宽是15米，小组合作计算长方形的周长，能想出几种不同的计算方法？哪种方法较为简便？

学生合作解决，指名板演后交流。

生：28+28+15+15=86（米），把四条线段加起来就是这个长方形的周长。

生：先求两个长，再求两个宽，最后再加起来。28×2=56（米），15×2=30（米），30+56=86（米）。

生：28+16=43（米），43×2=86（米）。

师：哪种计算方法较为简便？为什么？

2.探索正方形周长的计算。

师：你能计算正方形的周长吗？

独立计算，集体校对。

生：25+25+25+25=100（米）。

生：25×4=100（米）。

师：为什么这样计算？

生：围成正方形四条线段的长度和就是它的周长。

师：你觉得哪种方法比较简便？

【片段6】三上《长方形和正方形周长的计算》

师：一条曲线把正方形分成了两个图形（如图5），你能比较这两个图形的周长吗？你是怎样想的？

师：现在呢？（如图6）你是怎样想的？

片段5是引导学生在求解周长结果的过程中进一步反思周长的含义，理解概念和概念應用相辅相成。片段6则是有一定思维含量的变式练习，既是在比较复杂的情境中巩固周长概念的内涵，也是在有意识地孕伏将一维的“线”与二维的“面”区分开来，是前面直观理解基础上的提升，有助于学生根据周长概念对两个图形之间的逻辑关系作比较直接的、形象的推断和理解。

学习，就是从生活经验运行到科学概念的过程。教师能做的就是依据学生现有的生活经验和认知规律作数学化的引导：由知其浅到知其深，由知其然到知其所以然，由学会到会学。