对《选修1-1》里面《圆锥曲线》一章的修改建议*—从课本的一些瑕疵说起

广东省肇庆市高要区第一中学(526100) 程华生

在学生眼里,高中数学课本非常权威,非常完美,课本上的都是真理,但是现实中的课本,还是有些瑕疵的.

例如：人民教育出版社2007年2月第3版、2015年7月第17次印刷的《高中数学选修1-1课本》第57页的上面给出的抛物线的定义,就是有漏洞、有瑕疵、甚至可以说是错误的.

该定义的原文是：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

在此,我要问：如果点F在直线l上,轨迹还是抛物线吗?答案是：不是的.

举例：

(1)问题：已知定点F(0,0),定直线l:x=0,试问平面内与定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹是什么?

答案：轨迹是一条直线,此直线的方程是：y=0.

(2)问题：已知定点F(0,0),定直线l:y=0,试问平面内与定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹是什么?

答案：轨迹是一条直线,此直线的方程是：x=0.

可见课本上面给出的抛物线的定义,是有漏洞、有瑕疵、甚至可以说是错误的.

既然如此,那就需要修改、完善.怎么修改呢,在原定义里面加入限制条件：点F不在直线l上.

完美无缺的定义如下：

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

再举一个例子.

例如：人民教育出版社2007年2月第3版、2015年7月第17次印刷的《高中数学选修1-1课本》第45页的下面给出双曲线的定义,就是有漏洞、有瑕疵、甚至可以说是错误的.该定义的原文是：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola),这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

在此,我要问：如果该“常数”的值为0,轨迹还是双曲线吗?答案是：不是的.

举例：

(1)问题：已知平面内有定点F1(-3,0),F2(3,0),试问平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数0的点的轨迹是什么?

答案：轨迹是一条直线,此直线的方程是：x=0.

(2)问题：已知平面内有定点F1(0,3),F2(0,-3),试问平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数0的点的轨迹是什么?

答案：轨迹是一条直线,此直线的方程是：y=0.

可见课本上面给出的双曲线的定义,是有漏洞、有瑕疵、甚至可以说是错误的.

既然如此,那就需要修改、完善.怎么修改呢,设“常数”为2a,在原定义里面加入限制条件：0＜2a＜|F1F2|.

完美无缺的定义如下：

我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a(0＜2a＜|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola),这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

为了广大学生能够吃透椭圆、双曲线、抛物线的定义,我专门命制了两道例题.

例1 在平面直角坐标系中,有F1(-5,0),F2(5,0)两个定点,P为动点,分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程,并且说明动点P的轨迹是什么图形?

(1)|PF1|+|PF2|=26

解：

满足椭圆的定义,所以动点P的轨迹是椭圆,F1(-5,0),F2(5,0)是椭圆的焦点,c=5.

解得

则动点P的轨迹方程为

(2)|PF1|+|PF2|=10

解：

不满足椭圆的定义,所以动点P的轨迹不是椭圆,经过分析,动点P的轨迹是线段F1F2,动点P的轨迹方程为：

(3)|PF1|+|PF2|=9

解：满足条件的动点P不存在.

解：0＜8＜10=|F1F2|,满足双曲线的定义,所以动点P的轨迹是双曲线,F1(-5,0),F2(5,0)是双曲线的焦点,c=5.

解得

则动点P的轨迹方程为

(5)|PF1|-|PF2|=8

(6)|PF2|-|PF1|=8

解：

不满足双曲线的定义,所以动点P的轨迹不是双曲线,经过分析,满足条件的动点P不存在.

解：

不满足双曲线的定义,所以动点P的轨迹不是双曲线,经过分析,动点P的轨迹是两条射线,动点P的轨迹方程为：

(9)|PF1|-|PF2|=10

解：和第(8)小题相比,条件里面少了绝对值符号,所以动点P的轨迹不是两条射线,经过分析,动点P的轨迹是一条射线,动点P的轨迹方程为：

(10)|PF2|-|PF1|=10

解：和第(8)小题相比,条件里面少了绝对值符号,所以动点P的轨迹不是两条射线,经过分析,动点P的轨迹是一条射线,动点P的轨迹方程为：

(11)|PF1|-|PF2|=0

解：由|PF1|-|PF2|=0可得：|PF1|=|PF2|,由线段的垂直平分线的定义可知,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,是一条直线,动点P的轨迹方程为：.

例2 在平面直角坐标系中,有一个定点F(5,0),

(1)求到定点F(5,0)和定直线x=-5的距离相等的动点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

解：定点F(5,0)不在定直线x=-5上,满足抛物线的定义,所以动点P的轨迹是抛物线,经过分析,抛物线应该开口朝右,方程为

(2)求到定点F(5,0)和定直线x=5的距离相等的动点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.

解：定点F(5,0)在定直线x=5上,不满足抛物线的定义,所以动点P的轨迹不是抛物线,而是一条直线,是一条过点F(5,0),同时还和直线x=5垂直的直线,动点P的轨迹方程为：

另外,我还命制了两道练习题,供学生动笔练一练,有助于更好地巩固这个知识点.

练习题1 在平面直角坐标系中,有F1(0,4),F2(0,-4)两个定点,P为动点,分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程,并且说明动点P的轨迹是什么图形.

(1)|PF1|+|PF2|=10;

(2)|PF1|+|PF2|=8;

(3)|PF1|+|PF2|=7;

(5)|PF1|-|PF2|=6;

(6)|PF2|-|PF1|=6;

(9)|PF1|-|PF2|=8;

(10)|PF2|-|PF1|=8;

(11)|PF1|-|PF2|=0.

练习题2 在平面直角坐标系中,有一个定点F(0,4).

(1)求到定点F(0,4)和定直线y=-4的距离相等的动点P的轨迹方程,并说明动点P轨迹是什么图形.

(2)求到定点F(0,4)和定直线y=4的距离相等的动点P的轨迹方程,并说明动点P轨迹是什么图形.

学生做完练习题后,自行核对答案,参考答案如下：

练习题1：

(1)解：

满足椭圆的定义,所以动点P的轨迹是椭圆,F1(0,4),F2(0,-4)是椭圆的焦点,c=4.

解得

则动点P的轨迹方程为

(2)解：

不满足椭圆的定义,所以动点P的轨迹不是椭圆,动点P的轨迹是线段F1F2,动点P的轨迹方程为：

(3)解：满足条件的动点P不存在.

(4)解：

满足双曲线的定义,所以动点P的轨迹是双曲线,F1(0,4),F2(0,-4)是双曲线的焦点,c=4.

解得

则动点P的轨迹方程为

(7)解：

不满足双曲线的定义,所以动点P的轨迹不是双曲线,经过分析,满足条件的动点P不存在.

(8)解：

不满足双曲线的定义,所以动点P的轨迹不是双曲线,经过分析,动点P的轨迹是两条射线,动点P的轨迹方程为：

(9)解：和第(8)小题相比,条件里面少了绝对值符号,所以动点P的轨迹不是两条射线,动点P的轨迹是一条射线,动点P的轨迹方程为：

(10)解：和第(8)小题相比,条件里面少了绝对值符号,所以动点P的轨迹不是两条射线,动点P的轨迹是一条射线,动点P的轨迹方程为：

(11)解：由|PF1|-|PF2|=0可得：|PF1|=|PF2|,由线段的垂直平分线的定义可知,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,是一条直线,动点P的轨迹方程为：

练习题2：

(1)解：定点F(0,4)不在定直线y=-4上,满足抛物线的定义,所以动点P的轨迹是抛物线,经过分析,抛物线开口朝上,方程为

动点P的轨迹方程为：

(2)解：定点F(0,4)在定直线y=4上,不满足抛物线的定义,所以动点P的轨迹不是抛物线,而是一条直线,是一条过点F(0,4),同时还和直线y=4垂直的直线,动点P的轨迹方程为：