数学习题课：让“变”生长在教材原题上

广东省珠海市金鼎中学(519085) 吕尧华

数学教育家波利亚认为：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目,还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面,在指导学生解题过程中,提高他们的才智与推理能力.”基于此理念,笔者以人教版教材八年级上第76页“例1”为例,进行“一题多变”,编制了一节关于“等腰三角形的角度计算”的习题课.一题多变,能够培养学生的发散思维能力,“一题多变”研究题目结构的变式,将一题演变成多题,而题目实质不变,让学生解答这样的问题,能随时根据变化的情况思考,从中找出它们之间的区别和联系,以及特殊和一般的关系.使学生不仅能复习、回顾、综合应用所学的知识,而且使学生把所学的知识、技能、方法、技巧,学牢学活,培养思维的灵活性和解决问题的应变能力.

教材原题(人教版教材八年级上第76页例1)

如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.

图1

设计意图：有句俗话,水能载舟,也能覆舟.题海战术,就是覆舟之术.题不在多,但求精彩.如果我们在选择、编制习题时,让题目之根扎在教材中,再让“变”生长在教材原题上,那么这种寓“变”于教学之中的方法,不但可以以少胜多,而且可以培养学生的探索精神和创新精神,还可以促使学生爱学数学.

题组一

变式1如图2,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36°,则∠1的度数为( )

A.45°B.35°C.40°D.50°

图2

图3

变式2如图3,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交另一腰AC于点D,垂足为E,∠A=36°,则∠DBC的度数为____.

设计意图：题组一的两个变式思路是“一图多题”.原题“AB=AC”不变,变“BD=BC=AD”为“BD平分∠ABC,∠A=36°”就是变式 1;原题“AB=AC”不变,变“BD=BC=AD”为“AB的垂直平分线交另一腰AC于点D,垂足为E,∠A=36°”就是变式2.细细琢磨我们不难发现这两个变式与原题其实为一类题目,在原题中已经蕴含着“BD平分∠ABC,”和“DE垂直平分AB”,这就启发教师在讲解例题时要细剖析,深挖掘,研究透.真所谓是：一图多题,各尽其妙,不变中有变,变中有不变.

题组二

变式3如图4,△ABC中,AB=AD=DC,∠B=72°,∠C的度数为___.

变式4如图5,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,连接EC.

(1)求∠ECD的度数;

(2)若EC=5,求BC的长.

变式5如图6,已知AB=AC=AD,且AD//BC,

求证：∠C=2∠D.

图4

图5

图6

设计意图：题组二的三个变式思路是“一图多变”.“变”,小至题目的图形可变,数字可变,条件可变,结论可变;大至教法可变,教材内容可变.变,充满着神奇;变,孕育着创造.题组二的三个变式是研究的“变图形”：原图“向右旋转”就是变式3;原图“水平翻折”就是变式4;原图“延长+平行”就是变式5.在数学习题课中,让学生充分利用变题学会探索,学会创造,让孩子们变得更聪明,更机智.

题组三

变式6如图7,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.

变式7如图8,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=AD,∠C=36°,求 ∠ABC和 ∠ABD的度数.

图7

图8

设计意图：题组三的两个变式思路是“一题多图”.原题是人教版教材八年级上第76页例1,教师在例题讲解时运用“分类讨论的思想”引领学生多层次、广视角、全方位地进行研究与拓展,充分发挥其潜能.原题中等腰三角形ABC的内角“36度”是分类讨论的焦点,当“36度”是顶角时,即为原题;当“36度”是底角时,即为变式6和变式7.

题组四

变式8等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为36°,则顶角的度数是____.

设计意图：题组四的变式思路是“借题发挥”,运用分类讨论的思想“一题多图”,让学生的数学思维不但横向发展,还要纵深发展.

变式,是一种探索问题的方法,也是一种值得提倡的学习方法;变式,可以激发学生学习数学的兴趣,可以有效地提高学生的数学水平.习题课教学教师要大胆尝试“成片开发”,教师在平时教学中要多关注教材中的重点例题、习题,然后由这些题目出发,让“变”生长在教材原题上,由浅入深,由此及彼,让学生越来越对数学感兴趣,越来越爱上数学,变得越来越聪明!正如波利亚所言：“不断变换你的问题,使学生通过这道题目,就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地.”