阿波罗尼斯圆性质及其应用

河北省邯郸市第一中学(056000) 马进才 雷红涛

一、背景

题目(人教A版必修2第124页B组第3题)已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离比为,求点M的轨迹方程.

解析如图,设动点M(x,y),连结MO,MA,有:,化简得:x2+y2+2x−3=0,也就是:

方程(1)即为所求点M的轨迹方程,它表示以C(−1,0)为圆心,2为半径的圆.

图1

二、阿波罗尼斯圆

公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果.

定理A,B为两已知点,P,Q分别为线段AB的定比为λ(λ/=1)的内外分点,则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比为λ.

图2

性质3 所作出的阿波罗尼斯圆的直径为,面积为.

性质4 过点A作圆O的切线AC(C为切点),则CP,CQ分别为∠ACB的内、外角平分线.

性质5过点B作圆O不与CD重合的弦EF,则AB平分∠EAF.

而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于λ的曲线(圆)上,不共线的三点所确定的圆是唯一的,因此,圆O上任意一点到A,B两点的距离之比恒为λ.

注波罗尼斯(Apolloning,约公元前260～170),古希腊数学家,与欧几里得,阿基米德等齐名.著有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书.

性质1当λ＞1时,点B在圆O内,点A在圆O外;当0＜λ＜1时,点A在圆O内,点B在圆O外.

性质2 因AC2=AP·AQ,过AC是圆O的一条切线.若已知圆O及圆O外一点A,可以作出与之对应的点B,反之亦然.

三、高考中的阿波罗尼斯圆

例1(2005江苏)如图3,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM、

PN(M,N分别为切点),使得.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.

图3

图4

解以O1,O2的中点O为原点,O1,O2所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则O1(−2,0),O2(2,0).由已知,得PM2=2PN2.因为两圆的半径均为1,所以

例2(2013江苏)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l∶y=2x−4.设圆的半径为1,圆心在l上.若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.

这说明M既在圆(x−a)2+(y−2a+4)2=1上,又在圆x2+(y+1)2=4上,因而这两个圆必有交点,即两圆相交或相切,所以

例3(2008.江苏卷,13题)满足条件的△ABC的面积的最大值是____.

图5

解析显然这是“阿波罗圆”,建立如图所示的直角坐标系,因为有,代入阿波罗圆公式得:

设圆心为M,显然当CM⊥x轴时,△ABC面积最大,此时,所以

变式在△ABC中,边BC的中点为D,若,则△ABC的面积的最大值是____.

解以AB中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则A(−1,0),B(1,0).由知,,D的轨迹为阿波罗尼斯圆,方程为

设C(x,y),BC的中点为D得,所以点C的轨迹方程为

例4(《数学通报》2013年12期问题2158)在△ABC中AB=2,AC=nBC(n∈N∗,n≥2),△ABC面积的最大值为an,求证:.

解析以AB边所在直线为x轴,以AB边的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(−1,0),B(1,0),设C(x,y),因为AC=nBC,所以

故点C在以为圆心,以为半径的圆上(x轴上的点除外).因为,所以,当点C为圆上的最高点(或最低点)即时,S△ABC最大,最大值为,所以.所以

所以

例5(2015年湖北卷)如图6,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.

图6

(1)求圆C的标准方程;

(2)过点A任作一条直线与圆O∶x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:

其中正确结论的序号是_____.(写出所有正确结论的序号)

四、拓展—阿波罗尼斯圆与直线有四美

1.同一个方程,根据参数λ的不同,时而表示直线,时而表示圆,这是直线与圆的统一美;

2.当λ/=1时,不妨设c=1,可得:

说明λ2+1,|λ2−1|,2λ这3数之间存在勾股关系,这反映了阿波罗轨迹内部的结构美;

3.在方程(1)中,如λ＞1,圆心在y轴右边,如λ＜1,令,代入(1)得:

方程(3)与(2)具有类似的形式,只不过由于µ＞1,所以,圆心在y轴左边.这两个方程表示的图形关于y轴对称.例如分别取时,分别代入方程(2)与(3),得:

它们的图形关于y轴(阿波罗直线)对称.所以方程(1)又彰显解几图形的对称美与完整美;

4.对于方程(1),只要λ/=−1,它都表示圆,当λ无限接近于1乃至等于1时,其图形最终成为直线,这又是曲线由量变到质变的运动美.