古为今用:等周定理的几个推论及应用

广东省广州市花都区秀全中学(510800) 李桃

在周长给定并满足某些条件的所有区域中,找出面积最大的区域,这类最值问题称之为等周问题.早在17世纪,笛卡尔就注意到了这个问题,并以数据验证法给出著名的等周定理.

等周定理在具有给定周长的所有平面图形中,圆有最大的面积.

经过数学家几个世纪的研究,等周定理衍生出一系列成果.本文将列出有助于解决中学阶段等周问题的几个推论与大家分享.

由等周定理,可以用几何法论证以下结论:

推论1内接于圆的n边形面积大于其他任何有相同边(各条边的长度与排列顺序都相同)的n边形面积(其中n≥4).

题目1(2015届河北省石家庄市高三毕业班第一次模拟测试)已知平面图形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线,其余各边均在此直线的同侧),且AB=2,BC=4,CD=5,DA=3,则四边形ABCD面积S的最大值为___.

图1

点评用海伦公式和柯西不等式,学生难以掌握.

点评计算的技巧太强,学生难以完整解答.

解法3由推论1知,当且仅当A,B,C,D四点共圆时,其面积最大.此时A+C=π,C=π−A.由余弦定理得,

点评利用推论1,这题就是一个解三角形的简单题,学生容易入手.

由推论1容易得出以下的结论:

推论2在周长为定值的所有平面n边形中,以正n边形面积最大.(其中n≥3)

题目2用长度为2的绳围一个四边形区域,请问围成的区域面积最大为____.

解由推论2知,当且仅当所围成的四边形是正方形时,其面积最大,此时的边长为,其最大面积为.

三角形是平面多边形中最基本的图形,也是高考考察的热点.所以,我们要重视以下结论:

推论3在具有公共底边和周长的所有三角形中,等腰三角形有最大面积.

该结论可以借助椭圆来进行直观的几何证明,此处不再赘述.

题目3(2016届广州市普通高中毕业班综合测试(二)16)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,,则△ABC的面积的最大值为____.

点评学生不熟悉海伦公式,难想到此方法.

点评此法是常规的解三角形,但是计算较为繁琐.

解法3同上,a+c=4,b=2,符合推论3的条件.可知,当且仅当△ABC是等腰三角形时,其面积最大,此时是边长为2的等边三角形,其面积为.

在知道相关结论的情况下,解以上的等周问题会简洁很多.这几个结论浅显易懂,老师不妨让学生记住.此外,我们还可以关注以下结论.

推论4在具有公共底边和面积的所有三角形中,等腰三角形有最小周长.

推论5定长为L的曲线,当两端点在一条直线上滑动,以曲线为半圆时,它与这条直线所形成的封闭图形面积为最大.