2017年高考北京卷理科第20题的深度探究*

广州市荔湾区教育发展研究院(510370) 庞新军

华南师范大学数学科学学院(510631) 冷东辉

高考不仅是选拔人才的考试,对中学的教学也有指导意义,高考试题贯彻新理念,全面考查学生能力,体现素质教育的指导思想.每年的高考试题中都会有一些蕴涵着丰富内容的优秀试题,这些试题能在朴实中重基础,在平和中显能力.如果我们教师能充分挖掘出试题的命制背景和能力立意,将为高中数学教学起到良好的导向作用.下面拟对2017年高考北京卷理科第20题进行思考和探究,希望能为高三的教学提供一些帮助.

1.试题与解析

题目1(2017年北京卷理科第20题)已知抛物线C∶y2=2px(p＞0)过点P(1,1),过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.

(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标与准线方程;

(2)求证:A为线段BM的中点.

图1

本题主要考查抛物线的概念、标准方程和几何性质,以及抛物线与直线的位置关系.考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力.

解析(1)将点(1,1)代入y2=2px,得,则抛物线C的方程为y2=x,所以焦点为,准线方程为.

(2)如图1,由题意知直线l斜率存在,且不为零.设直线l方程为,交点为M(x1,y1),N(x2,y2),联立则,从而

由直线ON方程,得B点坐标为,由直线OP方程y=x,得A点坐标为(x1,x1),从而

所以点A为线段BM的中点.

通过对题1的解答,笔者发现若连接y轴上的已知点与点P(1,1),此直线恰好为抛物线的切线,这是一种偶然?还是一种必然?是否有规律可寻?若将已知点变为动点Q(0,t),点P(1,1)变为C上对应的切点,A为线段BM的中点还成立吗?笔者在接下来的探究中发现了一些端倪.

2.特殊到一般的探究

探究1在直角坐标系xOy中,抛物线C∶y2=2px(p＞0),过点Q(0,t)(其中t/=0)分别作直线l1,l2,其中直线l1与C相切于点P,l2与C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B.求证:A为线段BM的中点.

解析由题意可知直线l1与l2的斜率存在且不为零,设直线l1方程为y=k1x+t,直线l2方程为y=k2x+t,M(x1,y1),N(x2,y2).联立y=k1x+t和y2=2px,由Δ=0可得点P坐标为.联立y=k2x+t和y2=2px,得,则

故点A为线段BM的中点.

通过对探究1的证明可知,进一步明确点Q、P与抛物线C在位置上特殊对应的关系.除此之外,我们自然会想到,如果对探究1进行逆向思考,将条件与结论互换,命题是否也成立?即A为线段BM的中点作为已知条件,去探究点P为对应切点.

3.条件与结论互逆的探究

探究2在直角坐标系xOy中,抛物线C∶y2=2px(p＞0),过点Q(0,t)作直线l与C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线与直线ON交于点B,设线段BM的中点为A,连接OA并延长交C于点P.求证:直线QP为C的切线.

图2

图3

解析按照题目顺序依次求出点M,N,B,A的坐标,可得点P坐标为.联立直线QP与抛物线C方程,验证Δ=0,从而达到证明直线QP是抛物线切线的目的.求出的点、线结果与上题完全相同,这里不再赘述.

笔者发现通过逆向探究出的探究2有较大的实用价值,因为该命题描述了从抛物线外一点通过尺规作图的方法作抛物线切线的过程.同时在作图的过程中还发现,如图2所示,如果直线l的斜率为正值,则点B在x轴的上方;如图3所示,如果直线l的斜率为负值,则点B在x轴的下方;如果直线l的斜率越接近0,则点B越接近x轴.由此,笔者进行大胆设想,极端化直线l,让直线l的斜率为0,此时它与抛物线仅有一个交点,对应的条件该如何变化?是否还有相似的结论?

4.极限优化的探究

探究3在直角坐标系xOy中,抛物线C∶y2=2px(p＞0),过点Q(0,t)作x轴的平行线l∶y=t(t/=0)与C交于点M,过点M作x轴的垂线,垂足为B,设线段BM的中点为A,连接OA并延交抛物线于点P.求证:直线QP为C的切线.

解析如图4,联立y=t与y2=2px,可得点,则中点,再由直线OA方程,得点.然后再联立直线PQ与抛物线方程,验证Δ=0,问题得证.

图4

极限优化探究出的探究3使得尺规作图得抛物线切线的方法更加简洁明了,不仅如此,随着探究的不断深入,笔者发现探究3与2016年全国新课标I卷文科第20题如出一辙.

5.相关试题链接

题目2 (2016年全国I卷文科第20题)在直角坐标系xOy中,直线l∶y=t(t/=0)交y轴于点M,交抛物线C∶y2=2px(p＞0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON,并延长交C于点H.

(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?并说明理由.

图5

解析本试题题面言简意赅,构思巧妙,命制的出发点实际上是从抛物线外一点通过尺规作图的方法作抛物线切线的过程,试题第(1)问是计算题.直线l是一条水平的动直线,通过直线l与y轴以及与抛物线C的交点可确定出,由此确定点,求出N,H点的坐标,解得的值为2.试题第(2)问是一个说明题,要求说明连接MH的直线就是抛物线的切线,得到的结论必须给出理由.

6.殊途同归之效

题1与题2的命制背景都是向我们介绍一种应用尺规作图作过y轴上一点(0,t)作抛物线y2=2px切线的方法,原本没有多少联系,但通过笔者对题1的层层探究,将探究3与题2紧密的联系到了一起,两者殊途同归达到相同的效果.探究3中是通过点找到切点,题2中是通过点找到切点;

探究3中A点为|OP|的四等分点,题2中N点为|OH|的中点.通过对比(0,t)和切点的坐标,笔者发现它们纵坐标之间有倍数关系,这样一来,应用尺规过点(0,t)做抛物线y2=2px切线最便捷的方法应该是:过点(0,2t)作x轴的平行线与抛物线所得交点即为切点.

数学教育家波利亚说过:“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目,还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面,在指导学生解题的过程中,提高他们的才智与推理能力.”这要求我们教师对高考试题做深入的分析与研究,教师跳入题海多做题多思考,才能做到融会贯通、信手拈来,帮助学生跳出题海.对高考试题的深度探究,不仅使我们教师清晰地理解命题人的思想、命题背景和考查目的,还可以更好地培养学生思维品质,提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力,提高学生的数学核心素养.