多面体各面延伸分空间部分问题的探讨

2018-01-18安徽省无为县牛埠中学238351朱小扣

中学数学研究(广东) 2017年23期

安徽省无为县牛埠中学(238351) 朱小扣

对学生的空间想能力的考察一直是高考的重点,其中也不乏有对多面体各个面延伸的考察,如2013高考数学江西卷理科第8题等.在平时,同学们也能掌握三棱柱各个面延伸分空间21个部分,正方体各个面延伸分空间27个部分及其他棱柱的情形,但对于正棱锥与正棱台.大多数同学都不太清楚,笔者翻遍数学资料,发现对此问题的讨论寥若晨星.笔者现将对正偶棱锥与正偶棱台延伸问题的探究写成此文,以飨读者.为了解决此类问题,现对读者熟悉的三棱锥(台)的情形进行讨论.

1.从简出发,探究思路

1.1 探讨三棱锥各个面延伸可以把空间分成多少个部分?三棱台各个面延伸可以把空间分成多少个部分?

解

(1)如图1,现将三棱锥O−ABC特殊成OA,OB,OC互相垂直,将其放在如上图的位置,8个卦限中,只有第七卦限没有被平面一分为二,其他的卦限都一分为二了,故有8+7=15个,类似的可以得到普通的三棱锥也是15个.

(2)如图2,类似第一问的解答,将三棱台ABC−A1B1C1放在如图2的位置,易知答案为:7+7+8=22

图1

图2

1.2 启发

这样做能很好的理解延伸三棱锥(台)各个面延伸分空间成多少个部分这一问题,可以弥补了空间想象力的不足.由此,我们可以得到解决此类问题策略:借助模型和降维处理.我们将用它解决正n(n为偶数)棱锥(台)的情形.

2.化繁为简,拾级而上

直接做正棱锥各个面延伸可以把空间分成多少个部分这一问题,非常困难.故我们先规定向上的是侧棱延伸,不是侧面延伸,进行探讨(为了方便叙述,规定:本文中出现的各棱延伸均指侧棱向上延伸,向下是指面延伸).

2.1 正四棱锥各棱延伸可以把空间分成多少个部分?

解

图3

图4

如图3,图4,可以将四棱锥O−ABCD各棱向上延伸得到长方体ABCD−A′B′C′D′.于是,平面M上方有O−ABCD,O−ABB′A′,O−BCC′B′,O−CDD′C′,O−DAA′D′,O−A′B′C′D′共6个部分,平面M下方9个部分,共15个.

2.2 正四棱台各棱可以把空间分成多少个部分?

解

图5

如图5可以将正四棱台ABCD−A′B′C′D′的各棱延伸就得到了四棱锥O−ABCD,类比四棱锥,有6+9+9=24,共24个部分.

2.3 正六棱锥各棱延伸可以把空间分成多少个部分?

解

图6

图7

如图6,图7共有8+19=27个部分.类比四棱台,可以得到正六棱台各个棱延伸可以把空间分成8+19+19=46个部分.

2.5 获得方法

通过限定向上延伸是侧棱延伸,可以得到正偶棱台各面延伸问题和正偶棱锥问题相关,正偶棱锥各面延伸问题和正棱柱有直接的联系.故可以正棱柱为模型,进行研究.

3.形成思路,解答推广

3.1 正四棱锥各个面延伸可以把空间分成多少个部分?

解

图8

图9

如图8,可以将四棱锥O−ABCD侧面向上延伸得到长方体ABCD−A′B′C′D′.于是,平面M上方有O−ABCD,O−ABB′A′,O−BCC′B′,O−CDD′C′,O−DAA′D′,O−A′B′C′D′共6个部分,其中4个侧面中的每一个又被分成了4个部分,故平面M上方有2+4×4=18个部分.如图9,平面M下方有9个部分,故一共有18+9=27个.

3.2 正四棱台各棱可以把空间分成多少个部分?

解类比2.2,易得答案为27+9=36个.

3.3 正六棱锥各面延伸可以把空间分成多少个部分?

解

图10

图11

图12

如图10,图11,可以将正六棱锥侧面向上延伸得到直六棱柱,于是,平面M上面有共8个部分,其中6个侧面中的每一个又被分成了7个部分,故平面M上面有2+6×7=44个部分.由图12知平面M下面有19个部分,故一共有44+19=63个部分.

类比3.2易得:正六棱台将空间分成63+19=82个部分

3.4 正八棱锥各面延伸可以把空间分成多少个部分?

解

图13

图14

类比3.3,如图13可以将正八棱锥侧面向上延伸得到直八棱柱,于是,平面M上方有共10个部分,其中8个侧面每个又被分成了10个部分,故平面M上方有2+8×10=82个部分.易得知平面M下方有33个部分,故一共有82+33=115个部分.类似的,可以得到正十棱锥每一个侧面被分成的部分数是13个,如图14.

3.5 推广

可以推广得到如下两个定理:

定理1正n棱锥(n为偶数)各个面延伸可以把空间分成2n2−2n+3个部分.

解释由上述例题可知:正n边形各条边延长分平面的部分数+2+各侧面被分成的部分数之和.可以验证并递推的到:正n边形(n为偶数)各条边延长分平面的部分数为:.正偶棱锥每个侧面被分成的部分为:.故答案为:.

定理2正n棱台(n为偶数)各个面延伸可以把空间分成个部分.

解释由上述例题可知答案为

正n边形各条边延长分平面的部分数×2+2+各侧面被分成的部分数之和.故答案为: