巧借图形 妙解向量

湖北省松滋市教科中心(434200) 杜守灿

湖北省松滋市第二中学(434213) 卢 涛

向量是高考的必考题,而且有些题是处在选填题压轴题位置.向量是沟通代数与几何的桥梁,解决向量问题有两个方向,一是转化为代数的运算,二是借助图形的直观分析,同样的一题不同的解法反映了不一样的思维品质.高考向量题有什么特点?能不能简算?在平常的教学中我们应该注意什么?从哪些方面去提升学生的思维品质?本文以向量为例,图形—提升思维品质的利器,以抛砖引玉.

一.平行四边形的性质运用

例题1(2017浙江,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a−b|的最小值是____,最大值是___.

图1

分析如图:取.因为

(三角形两边之和不小于第三边,当且仅当a,b共线时取等号).因为

评注求|a+b|+|a−b|最小值时构造借助图形观察即得.求|a+b|+|a−b|最大值时,借助平行四边形的性质|a+b|2+|a−b|2=2(|a|2+|b|2),建立|a+b|与|a−b|的等量关系,再借助算术平均数与平方平均数建立不等关系.此平行四边形的性质是人教社A版必修4向量第106页中的例题1,此高考题来源于课本,又高于课本,使考生在公正公平的背景下,考察学生分析解决问题的能力.

例题2 (2013重庆理,10)在平面上,,若,则的取值范围是()

分析设矩形AB2PB1对角线交点为E,连接OE,

评注此题由平行四边形的性质的变形使用得到:

矩形ABCD的性质:O为平面上任意一点,则OA2+OC2=OB2+OD2.

图2

图3

例题3(2017课标II,理12)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是( )

图4

分析如图4,取BC中点E,连接AE,取AE中点G,连接PG,则

当P与G重合时取最小值.

评注此题也可以建立直角坐标系,通过已知条件及点P的坐标表示出,通过二元函数求解,但运算过程复杂,运算量大.若将转化为是由同一起点的两个向量的数量积,可以考虑极化恒等式(G是线段AE的中点)

思想方法探源(人教社A版必修4向量P109中的例1)

在平行四边形ABCD中,设.则有:

图5

推论1

(本质揭示:反映三角形中中线长与三边关系,参见人教社A版必修5解三角形第20页中的习题1.2第13题,譬如在本文例题2中运用)

推论2(极化恒等式).即.

推论3在△ABC中,O是边BC的中点,则(极化恒等式的几何意义).

二.模长运用

例题4(2016四川理第10题)在平面内,定点A,B,C,D满 足,,动点P,M满足,则的最大值是()

图6

分析因为

所以D是正三角形△ABC的中心,.因为,所以P是以A为圆心,半径为1的圆上的点.因为,所以M是PC的中点,取AC的中点N,连接MN.因为MN是△APC中位线,所以

评注由题设知,点P在圆A上运动,C是圆A外一定点,求线段PC中点M的轨迹,思想来源于人教社A版必修2圆的一般方程第122页中的例5,运用坐标采用代入法求轨迹模型.

变式1 若将或者都可以采用过M作AP的平行线交AC于N,采用平面几何同理解决.

变式2若本题中点P在椭圆(双曲线)上面运动,C为椭圆(双曲线)外一定点,那么线段PC中点M的轨迹又是什么呢?笔者做了探究,结论为:M的轨迹为椭圆(双曲线).以下仅以椭圆为例说明.

例子已知P是以F1,F2为焦点的已知椭圆上的动点,C是椭圆外一定点,问线段PC中点M的轨迹是什么?(F1,F2,C为定点)

图7

连接PF1,PF2,CF1,CF2,分别取CF1,CF2中点G,H,连接MG,MH,由分析知:

因为P是椭圆上的点.所以PF1+PF2为定值.故点M到两定点G,H的距离之和为定值.M的轨迹为:以G,H为焦点的椭圆.

三.数量积几何意义运用

例题5(2016浙江理科第15题)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有,则a·b的最大值是____.

图8

分析记,A,B在射线OE上的投影分别为A′,B′.

评注运用向量数量积的几何意义构造|a·e|+|b·e|=OB′,然后分析即可.

四.平面向量线性运算运用

例题6(2017课标III卷理科第12题)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若,则λ+µ的最大值为()

图9

分析过P作BC的平行线交AB于P1,设∠PCE=θ,由已知可得:.

评注本题可以用坐标运算解决,但是坐标运算运算量大.如果用平面几何思想,因为点P是圆C上面的动点,通过设∠PCE=θ控制P点位置,通过向量线性运算表示,将λ+µ用θ表示求最值.

这些向量题很多都处在选填题压轴题位置,解法有很多,但是很明显将向量用平面图形来分析其关键核心,几何量可以快速求解,有效降低了运算量.优化思维是课堂教学永恒的追求,我们教学中应该充分借助图形培养学生的思维品质.