三次函数恒成立问题的解法生成与难点突破—以2014年辽宁高考第11题为例

内蒙古师范大学附属中学(010020) 张 生 苏 猛

恒成立问题是高考的热点,也是难点.常以函数或方程为知识背景,考察学生对数形结合、函数与方程以及划归与转化等数学思想方法的灵活应用能力.本文,以两道三次函数恒成立问题为例,对学生常见解题思路给出不同解法及难点突破.

1.问题展示

题目1当x∈[−2,1]时,不等式ax3−x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )

以上是2014高考中,辽宁理科试卷的第11题,考察三次函数在给定区间上的恒成立问题,形式与2008高考江苏理科试卷中的第14如出一辙,题目如下:

题目2设函数f(x)=ax3−3x+1(x∈R),若对于任意x∈[−1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a=____.

答案a=4.

虽然问题很常规,但对学生来讲,仍然不易得分.为了调研学生对此类问题的困惑所在,笔者用一节课的时间与学生共同探究问题1,经过讨论后,归纳生成4种方法:特值代入法,分离参数法,构造三次函数法,数形结合法.由此可见,理论上解决问题的方法并不单一,但在具体解题中,运用特值代入法解题的学生易误选B答案,究其原因是只代入了区间端点值;运用分离参数法的学生能将正确答案选出,但用时较长,也从中体会到了分类讨论思想的重要应用;运用构造三次函数法的学生感觉方法原理容易想通,但具体操作思路受限;采用数形结合法的学生出现两种思路:一是将原不等式变为ax3≥x2−4x−3,研究三次函数与二次函数图象,二是将原不等式变为ax3−x2≥−4x−3,研究三次函数与一次函数图象,在具体操作中,都有难点需要突破.

一道看似常规且思路广泛的问题,却让学生解题思路屡屡受挫,不能一气呵成,顺利突破难点.究其原因,应是对函数及导数相关知识应用不够灵活所致.借此一例,笔者结合学生的思路与困惑,给出四种解法的生成过程及突破难点的方法,以期抛砖引玉.

2.解法展示

解法1采用特值代入法,先确定实数a的一个大致取值范围,即根据x∈[−2,1],可将x=−2,−1,1代入不等式中(这里,应强调对区间内的所有整数代入计算,以提高正确率),得到a∈[−6,−2],为了防止扩大范围,可令a=−2(也可令a=−6),研究y=−2x3−x2+4x+3在区间[−2,1]上的最小值,易得ymin=y|x=−1=0,说明a=−2符合题目要求,所以答案选C.

以上解法实属应试方法,在考试中,为了赢得时间和分数,应鼓励学生采用此法解题,尤其针对选择题,既省时又省力.但对深入理解问题本质没有任何帮助,若教学中就此结束,则等于没做!不过,这其中也包含了一点解题技巧,利用已知条件先得到问题成立的一个必要条件,即缩小参数的取值范围,然后再论证其充分性,这个过程相对较难.以上是采用了特值验证.

给学生讲解时,要强调“特值也要有态度”,不是随便找几个值而已,要对题设及答案认真分析,经过相对严谨的逻辑推理后,再确定所要取的特值.

解法2题目属于恒成立条件下的求参数范围问题,所以易想到分离参数法解决问题,鉴于x∈[−2,1],所以要体现分类讨论思想的应用,即当x∈[−2,0)时,原不等式可等价化为,通过求函数,x∈[−2,0)上的最小值得到a的范围,这需要学生具备一定的换元思想,即令将函数化为三次函数,再求最小值,同理可求x∈(0,1]上的情况.

这一解法说理清楚,思路严谨,且能很好地体现数学思想方法在解题过程中的重要应用,更能培养学生的数学思维能力,但就题论题来讲,未免有些小题大做,费时费力.

给学生讲解时,要强调分类讨论思想及换元思想的重要性.同时,也可借助导数求解函数的最小值.

解法3既然是恒成立问题,也可从构造函数的角度解题,令f(x)=ax3−x2+4x+3,x∈[−2,1],通过求函数的最小值解决问题.但是,面临两个难题:一是a的正负未知,导致上述函数的增减情况不定;二是其导数的零点为无理式,导致上述函数的极值不好算.面对双重困难,有没有办法突破?答案是肯定的,首先根据已知条件得到问题成立的一个必要条件,即缩小a的范围,由解法1得a∈[−6,−2],下面,给出问题成立的充分条件,对函数求导得

且x1＜x2,下面探究x1,x2是否在区间[−2,1]的内部,这是一个二次函数问题,自然想到对称轴方程,而f′(0)=4＞0,f′(1)=2+3a＜0,f′(−2)=8+12a＜0,由零点存在定理得x1,x2∈[−2,1],下面,研究f(x)=ax3−x2+4x+3,x∈[−2,1]的单调性,进而确定最小值,如图1-2,

图1

图2

得到问题成立的充分条件:f(1)≥0且f(x1)≥0,由f(x1)≥0得,所以,代入上式得(x1−9)(x1+1)≤0,所以−1≤x1≤9,结合得−1≤x1＜0,所以,解得a≤−2,由f(1)≥0得a≥−6,所以a∈[−6,−2].

解法3学生容易想到,但不易想通想透,中间有很多环节甚至可能感觉无法解决!因为这其中用到了很多数学思想方法,具有很强的综合性,相当于解决一道导数大题了.显然不适合用此法来解决一道选择题.但是,可以让学生感受解题的严谨性,展示研究问题的过程,真可谓“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”.

解法4 函数问题,自然想到画图,若能将问题展现在函数图象中,则既直观又易于理解,值得探究.那么,如何画图成了解题关键,事实上,解法3实质也是一种数形结合思想的应用.下面,我们从另外一个角度给出问题的“图象解法”:

图3

将ax3−x2+4x+3≥0等价变形为ax3−x2≥−4x−3,设f(x)=ax3−x2,g(x)=−4x−3,问题转化为f(x)≥g(x)在[−2,1]上恒成立,从而利用切线方程解题.

如图3所示:设直线g(x)=−4x−3与函数f(x)=ax3−x2相切,切点为P(x0,−4x0−3),由f′(x)=3ax2−2x得切线斜率为

由(1)(2)式消去a得(x0−9)(x0+1)=0,得x0=−1,代入(1)式解得a=−2,再结合图象知f(1)≥g(1),解得a≥−6,所以a∈[−6,−2].

解法4与解法3实质相同,都是借助数形结合思想解题,但要说明的是解法3需要提前缩小a的范围,而解法4通过图象即可看出a＜0,这是解法4优于解法3的地方.同时,解法4将问题转化为直线与曲线相切问题,可以推广应用到其他非三次函数恒成立问题中.

上述解法生成过程既是对高考题目的深入研究,更是对学生在解题中所遇困惑的释疑过程.让方法与思路源自学生,如解题中遇到困惑,此时教师应该担起排忧解惑的责任,与学生共同探究与思考,而不是武断否定学生的想法,打击学生的信心,扼杀学生的想法.以上解法生成过程,既鼓励了学生要勇于探索问题,敢于面对问题,勤于与老师交流问题,又增强了学生解题的积极性和敢于表达想法的自信心.能够很好的体现学生主体,教师主导的教学过程.