让解题思路因联想而“自然”*——一道高考题的解法探究与拓展

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(浙江师范大学数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

例1设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______.

(2011年浙江省数学高考理科试题第16题)

本题作为数学高考填空题的压轴题，难度较大，许多学生面对此题时一筹莫展，无从下手.其实此题较为开放，入口较宽，是一道精心打造的好题.此题命题者是如何求解的笔者无从得知，以下是网上及众多数学教辅资料上提供的一种解法：

解法1由4x2+y2+xy=1，得

则

当且仅当2x=y时，等号成立，即

上述解法非常简洁，但是技巧性太强.第一步“配方”的过程尤如“神来之笔”，如同波利亚所谓的“从帽子里跑出一只兔子”，学生除了赞叹方法的巧妙之外，只能望题兴叹：我怎么就想不到？[1]出现这种状况的主要原因是：上述解法的解题思路不“自然”.

那么，如何才能形成“自然”的解题思路呢？在面对一个较困难的问题时，波利亚在《怎样解题》一书中，他给学生的建议是：通过联想，找到一个你所熟悉的与现在的问题具有相同或相似未知数的问题，分析差异，然后利用你已有的活动经验对你现在的问题加以解决[2].

下面以上述试题的求解为例，就如何才能形成“自然”的解题思路作一些探讨.

1 解法探究

联想1已知条件4x2+y2+xy=1的左式是一个二次三项式，对于这种二次三项式，常用方法是试图将其配方，使其出现平方和的形式，然后采用三角换元.

解法2由4x2+y2+xy=1，配方得

联想2将已知条件写成

(2x+y)2=1+3xy，

联想到基本不等式

可将其转化为关于2x+y的不等式，求解后即得2x+y的最大值.

解法3由4x2+y2+xy=1,得

(2x+y)2=1+3y.

所以

即

联想3将已知条件写成

由左边的形式可以联想到余弦定理，从而可以将2x,y,1放入一个三角形中.

由正弦定理知

联想4题目要求的是2x+y的最大值，这是一个二元一次函数的最值问题，联想到我们常利用数形结合思想处理二元一次函数的最值问题.可将4x2+y2+xy=1视为一封闭的二次曲线，记2x+y=t，视为一动直线，目标函数t=2x+y的最值往往产生于直线与曲线相切这一极端位置.

解法5设2x+y=t，联立

消去y,得

6x2-3tx+t2-1=0.

由于直线与曲线有公共点，则

Δ=(-3t)2-4×6(t2-1)≥0，

化简得

从而

2 试题拓展

将已知条件4x2+y2+xy=1中的常量“1”用变量“z”替换，上述试题可拓展为：

本题的难度虽然很大，但是联想到例1的多种解法，我们不难得出本题的多种解法，有兴趣的读者不妨一试，以下提供其中的一种解法：

解由4x2+y2+xy=z配方得

设x=t(其中t≠0)，则

y=2t，z=4t2+(2t)2+2t2=10t2，

在进行解题教学时，教师应淡化解题技巧，注重通性通法；应多引导学生去“联想”，力争贴近学生思维的“最近发展区”，让解题思路因联想而“自然”，从而让学生感到这种解法便是“他应当想到的”，进而有效提升学生的解题能力.在此基础上，教师若能对已解决的问题进行适当的拓展，则更能有效提升学生的解题能力.

[1] 波利亚.数学的发现[M].刘景麟，曹之江,译.北京：科学出版社，2006.

[2] 波利亚.怎样解题[M].阎育苏,译.北京：科学出版社，1982.

[3] 孔胜涛.编题教学法在数学教学中的尝试[J].数学教学研究，2017(7)：23-25.