一类具有非瞬时脉冲的分数阶微分方程积分边值问题解的存在性

, ,

(上海理工大学 理学院,上海 200093)

1 问题的提出

近年来,分数阶微分方程在现代科学技术领域的应用日益广泛,其理论研究也取得了巨大的进展[1-8].作为刻画突变现象的脉冲微分方程在电子技术及通讯工程等方面发挥了巨大的作用,瞬时脉冲理论也受到人们的关注[9-13].在生物技术及医药工程领域存在着大量的非瞬时脉冲现象[14-20],对这类现象进行研究具有重要意义.本文研究一类具有非瞬时脉冲的分数阶微分方程积分边值问题

(1)

定义空间:PC(J,):={u:J→存在,且取范数‖u‖PC=则PC(J,)为Banach空间.

H0g∈L1(J),且ρ≠0.

2 预备知识与引理

有关分数阶微积分的定义可参见文献[1-4].

定义1设u∈PC(J,),若u满足边值问题(1)中的各等式,则称u是边值问题(1)的一个解.

引理1[4]假设y∈L[0,1],且1<α<2,那么,Cauchy问题

(2)

有解,且以下列形式给出:

推论1假设y∈L[0,1],且1<α<2,那么,Cauchy问题

(3)

存在唯一解

引理2对任意的y∈L1[0,1],且H0成立,则边值问题

(4)

存在唯一解

u(t) =v(t)+G(t)

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

根据边界条件u(0)=0,可得c0=0,故

(9)

考虑 Cauchy问题

(10)

类似地,当t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m时,

因此,

另一方面,

将上式代入式(9),可得式(5)成立,即引理2得证.

经过化简与计算,易得下面的引理3和引理4.

引理3对任意的s∈J,有以下不等式成立:

为了方便起见,记

根据式(7),容易证明引理4成立.

引理4对任意的t∈J,不等式|G(t)|≤N2成立.

定义算子A:PC(J,)→PC(J,).

(11)

记

Tu(t) =Au(t)+G(t)

(12)

引理5若假设H0成立,则算子T:PC(J,)→PC(J,)全连续.

证明首先,证明T为连续算子.

设un,u∈PC(J,),n=1,2,…, 且‖un-u‖PC→0(n→), 即对任意的t∈J,有un(t)→u(t)(n→),由于f是连续函数,则|f(s,un(s))-f(s,u(s))|→0,n→.

故根据Lebesgue控制收敛定理,可得

因此,当t∈[0,t1]时,结合引理3的a,可得

当t∈(tk,sk],k=1,2,…,m时,|Tun(t)-Tu(t)|=0.

类似可得,当t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m时,

即有‖Tun-Tu‖PC→0(n→), 因此,T连续.

其次,证明T是紧的.

设B⊂PC(J,)为有界集,则存在r>0,使得对任意的u∈B,有‖u‖PC≤r,记则当t∈[0,t1]时,结合引理3的a与引理4,可得

当t∈(tk,sk],k=1,2,…,m时,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh.

当t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m时,

因此,T(B)一致有界.

即T(B)等度连续.由Arzela-Ascoli定理可知T是紧的.

综合以上讨论,T是全连续算子.

3 边值问题解的存在性与唯一性

假设:

H1 存在非负函数a0,a1∈C[0,1], 常数σ>0, 使得对任意的t∈J及任意的x∈,有

H2 存在非负函数R∈C[0,1],使得对任意的t∈J及任意的x,y∈,有

|f(t,x)-f(t,y)|≤R(t)|x-y|

记‖a0‖‖R‖

定理1假设H0,H1成立,且0<σ<1, 则边值问题(1)至少存在1个解.

证明取r1≥max{Mh,2(N0‖a0‖

令D={u∈PC:‖u‖PC≤r1},则D为PC(J,)中非空有界闭凸集.

对任意的u∈D,当t∈[0,t1]时,结合引理3的b、引理4以及1<α<2,可得

当t∈(tk,sk],k=1,2,…,m时,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh≤r1.

当t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m时,

因此,‖T‖PC≤r1, 故T(D)⊂D.由引理5可知T全连续,故由Schauder不动点定理可知T在D中至少存在1个不动点,即边值问题(1)在PC(J,)中至少存在1个解.

定理2假设H0,H1成立,如果σ=1,且0

当t∈(tk,sk],k=1,2,…,m时,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh≤r2.

当t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m时,

|Tu(t)|≤|Au(t)|+|G(t)|≤

N1‖a0‖+N2+r2N1‖a1‖≤r2

因此,‖T‖PC≤r2, 故T(D)⊂D.由引理5可知T全连续,故由Schauder不动点定理可知T在D中至少存在1个不动点,即边值问题(1)在PC(J,)中至少存在1个解.

定理3假设H0,H2成立,如果0

证明对任意的u1,u2∈PC(J,),当t∈[0,t1]时,

当t∈(tk,sk],k=1,2,…,m时,|Tu2(t)-Tu1(t)|=0.

当t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m时,

因为,0

4 例 子

考虑边值问题

(13)

综上可知定理1的所有条件均满足,根据定理1可知边值问题(13)至少存在1个解.

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